三角函数公式_2

在上期专栏中, 我们讨论了正弦和余弦的计算, 这期我们来讨论, 正切和余切, 和角公式, 差角公式.

3. 正切的计算

正切, 在单位圆里, 有 2 种表示方法; 

一种是切线法, 适用于   的情况,

如图所示:

设单位圆交 x 轴正半轴于点 A, 过 A 作圆的切线, 该切线交角的终边于点 T,

则有   ,

另一种是比值法, 适用于所有存在正切的角度,  如下图:

设角的终边交单位圆于点 (x, y) , 则有 

显然, 上式等价于:

为了让正切有意义, 要保证分母上的余弦不为0, 因此, 正切的定义域为:

正切, 在直角三角形中的定义为:

同样, 这个定义只适用于锐角.

4. 余切的计算

余切, 可以理解为"余角的正切", 因为, 有这样一个关系:

不过, 这个不是定义式; 余切的定义式如下:

在单位圆里, 它等价于比值法:

以上 2 种定义, 适用于所有存在余切的角度.

在单位圆里, 表示余切, 还有另一种切线法:

设 y 轴正半轴与单位圆交于点 H, 过 H 作单位圆的切线, 与角的终边交于点 T,

则有  

当然, 切线法只适用于, 终边在第一象限的角.

显然, 余切的定义域为:   ,

5. 正弦的和角公式

设 ,

在 Rt ΔABP 中,  ∠APB = 90°,  ∠BAP = α,  AB = 1,

延长 BP 至点 C 使得 ∠CAP = β,

过 C 作 CH⊥AB 于点 H,

当 α + β < 90° 时, 图形如下:

在 Rt ΔABP 中,  ∠ APB = 90°,

在 Rt Δ BPC 中,  ∠ APC = 90°,

在 Rt ΔBCH 中, ∠BHC = 90°,

∴ ∠BCH + ∠ B = 90°

又 ∵∠BAP + ∠B = 90°

∴ ∠BCH = ∠BAP = α

在 Rt ΔACH 中, ∠AHC = 90°, ∠CAH = α + β,

 

当 α + β > 90°时, 图形如下:

推导过程类似, 结果相同;

当 α + β = 90° 时, 容易验证等式成立;

利用单位圆, 可以验证, 当 α 和 β 不全为锐角时, 结论依然成立.

6. 余弦的和角公式

用类似的几何法, 可以证明:

不过, 我有另一个思路,

在正弦的和角公式里, 令  ,

则有

令  , 我们证明了上期专栏的一个等式:

我们回到正弦的和角公式, 令   ,

则有

所以

令  , 则

因为 cos 是偶函数, 所以,

这是上期专栏的另一个等式:

在正弦的和角公式中, 

于是, 我们就得到了

7. 正切的和角公式

我们根据正切的定义, 

分子和分母, 同时除以   , 得

注意, 像   这样的情况, 

不能直接带入正切的和角公式, 而是要用其他方法,

因为,   这类角, 不在 tan 的定义域内.

我们可以用以下方法:

① ÷ ② 得

这是上期留下的第 3 个恒等式.

当然, 用几何法也能证明:

8. 差角公式

我们在和角公式的基础上, 改变第 2 个角的符号,

根据奇偶性, 得到差角公式:

用几何法, 同样也可以证明这些公式.

下期预告:

和差化积公式, 倍角公式, 半角公式等.