分析力学×电磁场中的粒子||理论力学

//本节作为分析力学的一个小小的推广，和经典的电磁场结合

//用分析力学的方式研究电磁场中带电粒子的运动。

0 电动力学回顾

首先，我们简单回顾一下经典电磁场理论。电场与磁场矢量  由电荷密度与电流密度决定，它们满足麦克斯韦方程：

带电粒子在电磁场中运动时，受到电磁力为

此外，我们在电磁学中定义电势与磁矢势，满足：

1 拉格朗日量

接下来，我们希望推广分析力学体系，找到一个能描述电磁场中粒子的拉格朗日量，也就是：

(我是不是还没介绍过对矢量求导这种操作？标量对矢量求导的定义是：

我最早是在朗道书上看到的这种写法。这种写法的拉格朗日方程就比较简洁。在这种定义下，标量对位矢求导其实相当于给出该标量的梯度。)

我们可以先不加证明地给出粒子的拉格朗日量：

所以接下来试图证明一下：

而对于前面给出的拉格朗日量，

接下来，利用矢量场微分公式：

计算中要时刻注意，这里需要把  看作独立的变量，所以  直接作用于速度的项均为0.

接下来，对比几式不难证明牛二定律给出的方程和拉格朗日方程等价。

可以看到，此时的拉格朗日量不再是 T-V 的形式，其势能项由“广义势”代替：

广义势和速度有关，而和传统意义上的势能就无关了。

2 哈密顿量

根据哈密顿力学中对广义动量的定义，可以给出粒子的广义动量

再按哈密顿量的定义，给出

代入，得到

于是哈密顿量依旧表示了粒子在场中的总能量。(你可能觉得有点奇怪，这个表达式里面没有 A 场，也就是没有了决定磁场的项。出问题了吗？) 但是别忘了哈密顿量是位置和动量的函数，也就是

以上是电磁场中粒子的哈密顿量。

还记得理论力学课上教授花了不少时间讲相关的内容。老师是做理论的，数理基础相当扎实。大家或许会有兴趣看一眼当时的板书：（我不说是理力你肯定以为我们又在打《电动》了吧）

3 作用量&考虑相对论的情况

把作用量放在最后，或许不是很符合正常的逻辑结构。不过这部分我最不熟悉，所以留到最后，可能有不准确的地方。这一部分笔记参照了刘川理论力学讲义和朗道场论的内容。

根据作用量的定义，显然是

而事实上，在相对论世界，我们更关系一个粒子的时空坐标。朗道《场论》给出电磁场中粒子作用量有这样的形式：

上式中使用了爱因斯坦求和约定，即默认对 i 求和。ds是粒子时空坐标的微分，  是电势、磁矢势构成的四维矢量。

基于此，容易推出相对论修正后的拉格朗日量形式：

当然，最后体现出来的效果就是对质量给出了修正，而体现电磁场影响的两项都不变。这也不难理解，电荷作为洛伦兹标量不受相对论影响，需要修正的也就只有质量了。

此外，既然哈密顿量仍然是粒子总能量，不难考虑到相对论修正的结果是

仍然要写成广义动量的显式，可以证明

这里，粒子的正则动量变成了

可以看到，仍然是对质量作出修正。