石头剪刀布，如果得分不同怎么玩（下）
感谢 乔木心心 提到的这个创意！！
由于我水平有限，以下只能算我尝试解题的记录、学习笔记，像“纳什均衡”等概念都是第一次接触，可能发生理解错误、计算错误、表述错误等，最后结论也不确定对，欢迎指正！
书接上文~
5（布）胜0（石头），得5分。
0（石头）胜2（剪刀），得2分。
2（剪刀）胜5（布），得7分。
有没有可以取得最优解的策略？
5. 试试解类似的题——带详细过程
百度百科“纳什平衡”里“硬币正反”案例有详细的解题过程[1]，我跟着它的思路走，没有感觉哪里不对。但我无法确定这样做是对的，我找不到出处。
知乎中“石头剪刀布胜负不同权重会导致什么策略解？”问题，“Richard Xu”给出了答案[3] 。我也无法确定答案是对的。我想尝试用刚才的解题方法做一下知乎这道题，然后跟答主给的答案对一下。
从知乎上复制下来的问题内容：
比如假设石头胜利可以得到1元，剪刀胜利可以得到0.8元，布胜利可以得到0.5元。
那么出每种的策略应该是什么？
我画了个表。这个表里，逗号前面是A的收益，逗号后面是B的收益。
用P剪刀代表我出剪刀的概率；用P石头代表我出石头的概率；用P布代表我出布的概率。
在对方出剪刀的情况下，我得到的钱是P剪刀 * 0 + P石头 * 1 + P布 * 0；
在对方出石头的情况下，我得到的钱是P剪刀 * 0 + P石头 * 0 + P布 * 0.5；
在对方出布的情况下，我得到的钱是P剪刀 * 0.8 + P石头 * 0 + P布 * 0。
还可以知道，P剪刀 + P石头 + P布 = 1
为了使利益最大化，应该在对手出剪刀或石头或布的时候我的收益都相等（不然在这个游戏中，对方可以改变剪刀石头布出现的概率让我的期望收入减少）[1]，由此列出方程就是
P剪刀 * 0 + P石头 * 1 + P布 * 0
= P剪刀 * 0 + P石头 * 0 + P布 * 0.5
= P剪刀 * 0.8 + P石头 * 0 + P布 * 0
也就是，P石头 * 1 = P布 * 0.5 = P剪刀 * 0.8
再结合， P剪刀 + P石头 + P布 = 1
可以得到，
P剪刀 = 5/17；P石头 = 4/17；P布 = 8/17
跟答主的答案不一样啊，（掀桌.jpg），文章写不下去了，打不了卡了。
我仔细看了答主的解答。
答主认为“赢家获得的钱来自于输家输掉的钱”。我前面是以“赢家获得钱，输家没有损失”来算的。让我以“赢家获得多少钱，输家就失去多少钱”来再算一遍。
我又画了个表。这个表里，逗号前面是A的收益，逗号后面是B的收益。
用P剪刀代表我出剪刀的概率；用P石头代表我出石头的概率；用P布代表我出布的概率。
在对方出剪刀的情况下，我得到的钱是P剪刀 * 0 + P石头 * 1 + P布 * （- 0.8）；
在对方出石头的情况下，我得到的钱是P剪刀 * （- 1） + P石头 * 0 + P布 * 0.5；
在对方出布的情况下，我得到的钱是P剪刀 * 0.8 + P石头 * （- 0.5） + P布 * 0。
为了使利益最大化，应该在对手出剪刀或石头或布的时候我的收益都相等（不然在这个游戏中，对方可以改变剪刀石头布出现的概率让我的期望收入减少）[1]，由此列出方程就是
P剪刀 * 0 + P石头 * 1 + P布 * （- 0.8）
= P剪刀 * （- 1） + P石头 * 0 + P布 * 0.5
= P剪刀 * 0.8 + P石头 * （- 0.5） + P布 * 0
也就是，
P石头 * 1 + P布 * （- 0.8）= P剪刀 * （- 1） + P布 * 0.5 = P剪刀 * 0.8 + P石头 * （- 0.5）
再结合， P剪刀 + P石头 + P布 = 1
可以得到，
P剪刀 = 5/23；P石头 = 8/23；P布 = 10/23
跟答主给的答案一样。
结论
如果“赢家获得钱，输家没有损失”，那么用P剪刀 = 5/17；P石头 = 4/17；P布 = 8/17这种概率出石头剪刀布是最优解，在双方都采取最优解的时候，平均每次双方获益都是4/17元；
如果“赢家获得多少钱，输家就失去多少钱”，那么用P剪刀 = 5/23；P石头 = 8/23；P布 = 10/23这种概率出石头剪刀布是最优解，在双方都采取最优解的时候，平均每次双方获益都是0元。
6. 解本题——过程简化
5（布）胜0（石头），得5分。
0（石头）胜2（剪刀），得2分。
2（剪刀）胜5（布），得7分。
如果赢家获得分数，输家没有损失：
P剪刀 * 0 + P石头 * 2 + P布 * 0
= P剪刀 * 0 + P石头 * 0 + P布 * 5
= P剪刀 * 7 + P石头 * 0 + P布 * 0
再结合， P剪刀 + P石头 + P布 = 1
可以得到，P剪刀 = 10/59；P石头 = 35/59；P布 = 14/59
如果赢家获得分数，输家扣除相应分数：
P剪刀 * 0 + P石头 * 2 + P布 * （- 7）
= P剪刀 * （- 2） + P石头 * 0 + P布 * 5
= P剪刀 * 7 + P石头 * （-5） + P布 * 0
再结合， P剪刀 + P石头 + P布 = 1
可以得到，P剪刀 = 5/14；P石头 = 1/2；P布 = 1/7
结论
如果“赢家获得分数，输家没有损失”，那么用P剪刀 = 10/59；P石头 = 35/59；P布 = 14/59这种概率出石头剪刀布是最优解，在双方都采取最优解的时候，平均每次双方获益都是70/59分；
如果“赢家获得分数，输家扣除相应分数”，那么用P剪刀 = 5/14；P石头 = 1/2；P布 = 1/7这种概率出石头剪刀布是最优解，在双方都采取最优解的时候，平均每次双方获益都是0分。
7. 果壳网“美女主动搭讪？小心数学陷阱”文章摘录
我在最后好像找到百度百科“纳什平衡”里“硬币正反”解法的出处了，有可能是来自果壳网里一篇叫“美女主动搭讪？小心数学陷阱”的文章。
这篇文章有讲到“硬币正反”案例的出处：[2]
还记得玛丽莲•沃斯•莎凡特（Marilyn vos Savant）吗？她是吉尼斯世界记录认定的最高IQ人类，在杂志《Parade》上开过一个名叫“问问玛丽莲”（Ask Marilyn）的专栏，专门解决读者的各种疑难杂题……
2002年3月31日的“问问玛莉莲”专栏上刊登了这么一道趣题：你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏（这不是死理性派最期待的嘛）。美女提议……
这篇文章里面讲纯策略和混合策略感觉还挺通俗的：[2]
人们在玩游戏的时候总会自己制定一些策略。在博弈论中，策略（strategy）有两种，一种是确定的，称为纯策略（pure strategy），在什么情况下出什么牌、做出什么选择都已经定好，只需要照章办事。另一种是随机的，叫作混合策略（mixed strategy），给你的所有动作都定一个概率，按概率随机从中选一个。人们在说到随机的时候，直觉上倾向于认为各种情况等概率出现，而有时候，控制某些情况出现的概率却会产生神奇的效果。
这篇文章是这样讲“纳什均衡”的：[2]
在有限人的游戏中，总存在这样一种情况，每个人都能采取一种策略，使得他的利益不能再增大了。这就是博弈论中重要的纳什均衡（Nash Equilibrium）。
参考
[1] “纳什平衡”，百度百科，https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%B3%E4%BB%80%E5%B9%B3%E8%A1%A1/1325910
[2] “美女主动搭讪？小心数学陷阱”，果壳网，https://www.guokr.com/article/56198/
[3] 石头剪刀布胜负不同权重会导致什么策略解？”，知乎，https://www.zhihu.com/question/38868420
