《几何原本》命题4.3【夸克欧氏几何】
命题4.3：
可在已知圆外作一个与已知三角形等角的外切三角形
已知：圆ABC，△DEF
求：在圆ABC外作一个与△DEF等角的外切三角形
解：
将EF向两端延长至点G，点H
（公设1.2）
求出圆ABC的圆心点K
（命题3.1）
以点K为顶点，作∠AKB=∠DEG，与圆ABC交点记为点A，B
（命题1.23）
在BK上，以点K为顶点作∠BKC=∠DFH，与圆ABC交点记为点C
（命题1.23）
过点A，B，C作圆ABC的切线，三条线交点记为点L，M，N
（命题3.17）
求证：∠M=∠DEF，∠N=∠DFE，∠L=∠D
证：
∵LM切圆ABC于点A
（已知）
∴AK⊥LM
（命题3.18）
∴∟MAK是直角
（定义1.10）
∵MN切圆ABC于点B
（已知）
∴BK⊥MN
（命题3.18）
∴∟MBK是直角
（定义1.10）
∵△AKM中，∠AMK+∠AKM+∟MAK=两直角
△BKM中，∠BMK+∠BKM+∟MBK=两直角
（命题1.32）
∴∠M+∠AKB+∟MAK+∟MBK=四直角
（公理1.2）
∴∠M+∠AKB=两直角
（公理1.3）
∵∠DEF+∠DEG=两直角
（命题1.13）
∴∠M+∠AKB=∠DEF+∠DEG
∵∠AKB=∠DEG
（已知）
∴∠M=∠DEF
（公理1.3）
同理可证，∠N=∠DFE
∵△LMN中，∠L+∠M+∠N=两直角
（命题1.32）
∴∠L+∠DEF+∠DFE=两直角
（公理1.1）
∵△DEF中，∠D+∠DEF+∠DFE=两直角
（命题1.32）
∴∠L+∠DEF+∠DFE=∠D+∠DEF+∠DFE
∴∠L=∠D
（公理1.3）
证毕
此命题在《几何原本》中再未被使用
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