一、谈数学函数定义域：

课本上，对函数定义如下：

我最初理解是2x+1的范围是定义域，

因为书中有这么一段话：

对于集合A中的任意一个数x ，在集合B里都有唯一确定的数f(x)和它对应。

因为2x+1在集合A里，而x不一定在集合A里，所以2x+1才是定义域，于是我画了这个图：

但，后来证明，是我错了，图本身没有错，错的是，定义域不是2x+1的范围，而是x的范围。

即自变量的取值范围，用集合表示就是：

可以看到，这里有两个函数对应关系，三个集合。

拿函数定义来说，对于集合A中的任意一个数x ，在集合B里都有唯一确定的数f(x)和它对应。

套用在这里，就是：对于集合C中的任意一个数x,在集合A里都有唯一确定的数f(x)和它对应。

对于集合A和集合B之间的对应关系，函数f(2x+1)的定义域还是x的取值范围，但x不一定都在集合A里，

也就是说定义域不一定是集合A的子集，所以书上只提到值域是集合B的子集。

二、谈数学函数换元法：

1、换元法用集合表示：

用换元法来表示，令t = 2x+1，那么图就变成如此：

可以看到，通过换元后，出现了一个新的集合，新集合与集合B发生对应关系，它们的对应关系是f(t)。

那么这个新集合和集合A有什么关系吗？

2、换元后集合有没有改变？

既然2x+1和 t 的取值范围是一样的，所以 t变量组成的集合 和 2x+1表达式组成的集合，这两个集合里面的元素都是一样的，根据集合的互异性，两个集合可以合并为一个集合，就是集合A。

即，换元法并没有改动集合A。所以，将上图，稍加改动，

集合A有两种表达方式，在 t变量组成的集合 的方框中加入 集合A 三个字：

3、换元后定义域有没有改变？

上图是将2x+1替换为了t，同时没有改变集合A，那么我们的函数表达式也可以由f(2x+1)替换为f(t)。

很明显换元前后定义域不一样：

即如果 g(x) = 2x+1 ，t = g(x)，则换元后f(t)的定义域是g(x)的值域。

f(t)的定义域，也就是t的取值范围，t的取值范围就是2x+1的取值范围。

所以f(t)的定义域，当然也等于2x+1的取值范围。

所以，也就是经常说的，换元后，f(t)的定义域就是f(g(x))中的g(x)的取值范围。

4、换元后函数表达式怎么改变？

换元后函数表达式也不一样，请看下面的集合C:

5、换元后为什么f(t)可以改为f(x)？

换元法通常会将f(t)改为f(x)，用集合表示的话就是（最下面的两个集合）：

可以看出，虽然将t变为了x，但x的取值范围和t的取值范围一样，所以根据集合互异性，集合A还是没有变，

同样，f(t)换为f(x)，集合B的范围也没有变。

6、为什么可以使用换元法？

既然集合A、集合B没有变，

以及集合A和集合B之间的对应也没有改变。即集合A和集合B之间的元素，在换元前是一一对应的或多对一对应的，现在仍然是相同的对应关系。

所以，换元法成立。

而且通常换元了两次，一次是将集合A里面的2x+1，即g(x)换为元素t, 第二次是将t元素换为元素x。

所改变的只是两个集合之间的不同的函数对应关系f，以及它的定义域和函数表达式。

三、利用换元法求函数最值

 

欲求最值，需解决问题：

1、函数的定义域。

2、函数在定义域的单调性。

 

所以，主要是求函数在定义域的单调性，函数用集合表示为：

现在函数用集合表示为：

最值是包含在值域里的，

而f(x)和f(t)是相同的值域，它们都是集合B。

所以求f(t)的最值，就是求f(x)的最值，