微分几何笔记|3曲面的第一基本形式
具体笔记见
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在上一篇中我们将一个平面网映射到了一个曲面上，然后再曲面上也得到了一个曲面网，根据这个参数化的曲面网，我们就可以定义一个点上的切平面【见上一篇内容】切平面上的度量就能够定义出一种度量形式即曲面的第一标准型
曲面的第一基本形式
曲面的第一标准形的意义是可以对曲面进行度量，包括曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的夹角，曲面域的面积等等，它可以使我们能够测量曲面上一些量而不必回到曲面所在的外围空间.
1定义：
存在曲面S,平面D，映射关系r ,在曲面S上的一点P存在切平面空间
，X是在此平面上的一个向量
，曲面上切向量的表示方法
【见上一篇内容】(如果不知道
是什么意思，提醒一下是r=r(u,v)
在u上的偏导。
那么切向量的内积 就是曲面的第一基本形式，记为
,系数
称为第一基本量，即
在 Manfredo P. do Carmo 的《 Differential Geometry of Curves and Surfaces-Dover Publications (2016)》书中有更清晰的定义，符号大致不同但是都是是曲线的该点的切向量在切平面上的内积：
很容易得到，该形式是正定二次型：
2度量
可以通过第一基本形式的参数构成的度量矩阵得到内积进而推导出弧长、夹角和面积：
3性质
性质：第一基本形式不变性：在参数u,v变化下是不变的（很容易理解，面积，夹角，等是不随着参数的变化而变化的）
4曲线族和曲线网的微分方程
利用微分方程定义一个曲线族，其表达了一个曲线族切向量满足的关系式
定义一个曲线网，可以通过解关于dudv的二次方程得到x1=du：dv, x2=deta u:deta v这两组解 ,则就是两族曲线，得到了一个曲线网，而且在这个条件下，两组曲线不会相切（两个解）我们叫正规曲线网
当出现以下特例时，得到的是正交曲线网
