连续型若干个质点运动排布曲线方程的求解(后篇)

2023-07-10 17:41 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

续前一篇专栏，解决下面的问题：

若一架飞机以速度 $v$ (向右)前行，其连续不间断地向地面投掷物资，问t时刻所有物资在空中的排布曲线？

比起前一题，这题更难的地方在于水平方向仍然有位移(由于相继平抛的物资水平方向也会偏离原位)，因此这题用直角坐标方程就不好表示了，得换用参数方程。

这里怕读者不懂就先举几个具体的数字

比如取 $v%3D10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%2Ct_0%3D3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ 进行研究

那么次数飞机已经飞到距离原点 $3%5Cmathrm%7B0m%7D%20$ 的地方了

那么飞机经过原点时投放的物资已经进行了 $3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ 的平抛运动

那这个物资此刻究竟在哪里呢？其实就是问：投放点为原点，以 $10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D$ 的初速度平抛了 $3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ ，问此刻物资在哪？

那么 $x_%7Bs%3D0%7D%3D10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5Ctimes%203%5Cmathrm%7Bs%7D%20%3D3%5Cmathrm%7B0m%7D%20$

$y_%7Bs%3D0%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ctimes%2010%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5E2%5Ctimes%20(3%5Cmathrm%7Bs%7D%20)%5E2%3D-45%5Cmathrm%7Bm%7D%20$

那如果要求飞机在距离原点 $2%5Cmathrm%7B0m%7D%20$ 的地方投放的物资此刻的位置呢？

我们就关键就需要知道此物资做平抛运动的时间

其等于飞行的时间 $t_0%3D3%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ 减去飞机由原点飞到此处所需的时间 $t%3D%5Cfrac%7B20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%7B10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%7D%20%3D2%5Cmathrm%7Bs%7D%20$ ,即平抛了 $1%5Cmathrm%7Bs%7D%20$

于是 $x_%7Bs%3D20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%3D20m%2B10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5Ctimes%201%5Cmathrm%7Bs%7D%20%3D30%5Cmathrm%7Bm%7D%20$

$y_%7Bs%3D20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ctimes%2010%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5E2%5Ctimes%20(1%5Cmathrm%7Bs%7D%20)%5E2%3D-5%5Cmathrm%7Bm%7D%20$

以此类推，我们就可以求出飞机所经任意位置投放的物资在此刻的位置

取 $t_0$ 时刻研究

以原点为初始位置建轴，到达位移为 $s$ 处所需时间为 $%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ ，说明飞机经时间 $%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ 后才运动到此处，也就意味着该点比原点处的物资滞后 $%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ 后才做平抛运动。则此时该点处的物资已经做了 $t_0-%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20$ 时间的平抛运动

因此此刻(由位移为 $s$ 处开始投掷)的物体位置横/纵坐标分别为：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%2Bv%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%7D%7Bv%7D%20)%5C%5C%0Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%7D%7Bv%7D)%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，其中参数 $%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%5Cin%20%5B0%2Cvt_0%20%5D$

算出来x坐标为定值，因此参数方程描述的是一条竖直的直线

这里参数是s，表示的是每个(原来与出发点距离s的)位置，经时间 $t_0$ 后的位置。每个s对应一个点

ps:desmos解析式如下：

ps:注意第5式中的t是文中的参数s，由于desmos的参数只能用t表示所以没法子了，读者自行换为s即可

再拓展下，

若飞机以加速度 $a$ 由静止向右做匀加速直线运动，同时连续不断地向地面投放物资，问t时刻所有物资在空中的排布曲线？

道理也是相同的，不过要注意的是算时间时要套匀变速位移的公式了

取 $t_0$ 时刻研究

以原点为初始位置建轴，到达位移为 $s$ 处所需时间为 $%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ ，说明飞机经时间 $%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ 后才运动到此处，也就意味着该点比原点处的物资滞后 $%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ 后才做平抛运动。则此时该点处的物资已经做了 $t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20$ 时间的平抛运动

因此此刻(由位移为 $s$ 处开始投掷)的物体位置横/纵坐标分别为：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%2B%5Csqrt%7B2a%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%20%5Ccdot%20(t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%7Ba%7D%20%7D)%20%5C%5C%0Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g%5B(t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%7Ba%7D%20%7D)%20%5D%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ，其中参数 $%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%5Cin%20%5B0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20at_0%5E2%20%5D$

算出来参数方程是一条倾斜的直线(斜向左下方)

当然，此题也可以用换系来做

以向右匀加速的飞机为参考系，则换系后，投放的物资有竖直向下的重力加速度 $g$ 和水平向左的惯性加速度 $a'$ ,矢量叠加可知此参考系下物资的合加速度方向均为斜向左下方。

而每个物资被投放瞬间与飞机是共速的，因此在此参考系下物资的初速度为0。因此投放的物资相继沿合加速度(红色箭头)方向做匀加速直线运动，则排列曲线为一条倾斜的直线。

再把参考系换回为地面，则整条倾斜的直线随着飞机一同向右(匀加速)平移。

同理，如果是匀减速，那么排布曲线就是往右下方倾斜的直线，就留给感兴趣的读者推吧[滑稽]

ps:@鲁建全做过一个视频，供参考：

飞机投弹演示（加速运动时）

最后回到最初的这道难题：

已知喷头以角速度ω逆时针转动，同时连续不断向前喷水(初速度大小为v₀，方向与水平面夹角为θ)问t时刻水柱在空中排列曲线的方程?

以喷头为原点建立空间直角坐标系

取 $t_0$ 时刻研究。转过的总角度为 $%5Comega%20t_0$

取其中的 $%5Calpha%20$ 角为例，转过 $%5Calpha%20$ 角所需时间为 $%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20$ ，即此处的水滴比原点的水滴晚 $%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20$ 时间后才做斜抛运动。则该处水滴做斜抛运动的时间为 $t_0-%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20$

先将初速度分解到沿水平面方向 $v_%7B%5Cparallel%20%7D%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20$ 和垂直水平面方向 $v_%7Bz%20%7D%3Dv_0%5Csin%20%5Ctheta%20$

再将水平方向分量分解到x,y方向：

$v_%7Bx%20%7D%3Dv_%7B%5Cparallel%20%7D%5Ccos%20%5Calpha%20%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Calpha%20$

$v_%7By%20%7D%3Dv_%7B%5Cparallel%20%7D%5Csin%20%5Calpha%20%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Calpha%20$

x,y方向做匀速直线运动，z方向做竖直上抛运动，于是有：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20x%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%5Ccdot%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%7D%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5C%5C%0A%20y%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%5Ccdot%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5C%5C%0Az%3Dv_0%5Csin%20%5Ctheta%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20)-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$