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连续型若干个质点运动排布曲线方程的求解(后篇)

2023-07-10 17:41 作者:现代微积分  | 我要投稿

续前一篇专栏,解决下面的问题:

若一架飞机以速度v(向右)前行,其连续不间断地向地面投掷物资,问t时刻所有物资在空中的排布曲线?

比起前一题,这题更难的地方在于水平方向仍然有位移(由于相继平抛的物资水平方向也会偏离原位),因此这题用直角坐标方程就不好表示了,得换用参数方程。

这里怕读者不懂就先举几个具体的数字

比如取v%3D10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%2Ct_0%3D3%5Cmathrm%7Bs%7D%20进行研究

那么次数飞机已经飞到距离原点3%5Cmathrm%7B0m%7D%20的地方了

那么飞机经过原点时投放的物资已经进行了3%5Cmathrm%7Bs%7D%20的平抛运动

那这个物资此刻究竟在哪里呢?其实就是问:投放点为原点,以10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D的初速度平抛了3%5Cmathrm%7Bs%7D%20,问此刻物资在哪?

那么x_%7Bs%3D0%7D%3D10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5Ctimes%203%5Cmathrm%7Bs%7D%20%3D3%5Cmathrm%7B0m%7D%20

y_%7Bs%3D0%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ctimes%2010%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5E2%5Ctimes%20(3%5Cmathrm%7Bs%7D%20)%5E2%3D-45%5Cmathrm%7Bm%7D%20


那如果要求飞机在距离原点2%5Cmathrm%7B0m%7D%20的地方投放的物资此刻的位置呢?

我们就关键就需要知道此物资做平抛运动的时间

其等于飞行的时间t_0%3D3%5Cmathrm%7Bs%7D%20减去飞机由原点飞到此处所需的时间t%3D%5Cfrac%7B20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%7B10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%7D%20%3D2%5Cmathrm%7Bs%7D%20,即平抛了1%5Cmathrm%7Bs%7D%20

于是x_%7Bs%3D20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%3D20m%2B10%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5Ctimes%201%5Cmathrm%7Bs%7D%20%3D30%5Cmathrm%7Bm%7D%20

y_%7Bs%3D20%5Cmathrm%7Bm%7D%20%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ctimes%2010%5Cmathrm%7Bm%2Fs%7D%20%5E2%5Ctimes%20(1%5Cmathrm%7Bs%7D%20)%5E2%3D-5%5Cmathrm%7Bm%7D%20

以此类推,我们就可以求出飞机所经任意位置投放的物资在此刻的位置



t_0时刻研究

以原点为初始位置建轴,到达位移为s处所需时间为%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20,说明飞机经时间%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20后才运动到此处,也就意味着该点比原点处的物资滞后%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20后才做平抛运动。则此时该点处的物资已经做了t_0-%5Cfrac%7Bs%7D%7Bv%7D%20时间的平抛运动

因此此刻(由位移为s处开始投掷)的物体位置横/纵坐标分别为:

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%2Bv%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%7D%7Bv%7D%20)%5C%5C%0Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%7D%7Bv%7D)%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.,其中参数%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%5Cin%20%5B0%2Cvt_0%20%5D

算出来x坐标为定值,因此参数方程描述的是一条竖直的直线

这里参数是s,表示的是每个(原来与出发点距离s的)位置,经时间t_0后的位置。每个s对应一个点

ps:desmos解析式如下:

ps:注意第5式中的t是文中的参数s,由于desmos的参数只能用t表示所以没法子了,读者自行换为s即可

再拓展下,

若飞机以加速度a由静止向右做匀加速直线运动,同时连续不断地向地面投放物资,问t时刻所有物资在空中的排布曲线?

道理也是相同的,不过要注意的是算时间时要套匀变速位移的公式了

t_0时刻研究

以原点为初始位置建轴,到达位移为s处所需时间为%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20,说明飞机经时间%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20后才运动到此处,也就意味着该点比原点处的物资滞后%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20后才做平抛运动。则此时该点处的物资已经做了t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2s%7D%7Ba%7D%20%7D%20时间的平抛运动

因此此刻(由位移为s处开始投掷)的物体位置横/纵坐标分别为:

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Ax%3D%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%2B%5Csqrt%7B2a%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%20%5Ccdot%20(t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%7Ba%7D%20%7D)%20%5C%5C%0Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g%5B(t_0-%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%7D%7Ba%7D%20%7D)%20%5D%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.,其中参数%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bs%7D%7D%20%5Cin%20%5B0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20at_0%5E2%20%5D

算出来参数方程是一条倾斜的直线(斜向左下方)

当然,此题也可以用换系来做

以向右匀加速的飞机为参考系,则换系后,投放的物资有竖直向下的重力加速度g和水平向左的惯性加速度a',矢量叠加可知此参考系下物资的合加速度方向均为斜向左下方。

而每个物资被投放瞬间与飞机是共速的,因此在此参考系下物资的初速度为0。因此投放的物资相继沿合加速度(红色箭头)方向做匀加速直线运动,则排列曲线为一条倾斜的直线。

再把参考系换回为地面,则整条倾斜的直线随着飞机一同向右(匀加速)平移。



同理,如果是匀减速,那么排布曲线就是往右下方倾斜的直线,就留给感兴趣的读者推吧[滑稽]

ps:@鲁建全做过一个视频,供参考:

飞机投弹演示(加速运动时)


最后回到最初的这道难题:

已知喷头以角速度ω逆时针转动,同时连续不断向前喷水(初速度大小为v₀,方向与水平面夹角为θ)问t时刻水柱在空中排列曲线的方程?

以喷头为原点建立空间直角坐标系

t_0时刻研究。转过的总角度为%5Comega%20t_0

取其中的%5Calpha%20角为例,转过%5Calpha%20角所需时间为%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20,即此处的水滴比原点的水滴晚%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20时间后才做斜抛运动。则该处水滴做斜抛运动的时间为t_0-%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20

先将初速度分解到沿水平面方向v_%7B%5Cparallel%20%7D%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20和垂直水平面方向v_%7Bz%20%7D%3Dv_0%5Csin%20%5Ctheta%20

再将水平方向分量分解到x,y方向:

v_%7Bx%20%7D%3Dv_%7B%5Cparallel%20%7D%5Ccos%20%5Calpha%20%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Calpha%20

v_%7By%20%7D%3Dv_%7B%5Cparallel%20%7D%5Csin%20%5Calpha%20%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Calpha%20

x,y方向做匀速直线运动,z方向做竖直上抛运动,于是有:

%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20x%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%5Ccdot%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%7D%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5C%5C%0A%20y%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%20%5Csin%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%5Ccdot%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5C%5C%0Az%3Dv_0%5Csin%20%5Ctheta%20(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%20%7D%7B%5Comega%20%7D%20)-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20g(t_0-%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%20%7D%20%7D%7D%7B%5Comega%20%7D%20)%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

其中参数%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Calpha%7D%7D%20%20%5Cin%20%5B0%2C%5Comega%20t_0%5D

ggb画的曲线轨迹图像如下:

解析式如下:

于是我们终于解决了这道烧脑的思考题。

嗨,真的快疯了,说不定已经疯了,看个喷泉都联想出了一堆花里胡哨...如果学到一定程度说不定流体力学都淦上去了(


另外,考虑到受众的问题,以后这种纯探索("胡想")类的专栏可能会少些了,我也会下意识做好应试和研究的分类,让不同的受众皆得其益

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