Unruh效应与Hawking辐射
在讨论主题之前我们需要弯曲时空中的量子场论。我们只考虑自由粒子，因为在弯曲时空中我们感兴趣的首先是场和度规之间的作用而不是不同场之间的作用。我们的讨论都是半经典的“杂交”理论，即，将物质场看作量子的，而将引力场看作经典的。
首先回顾一下基本的量子力学。
一个物理理论包含有以下三个问题：
物理系统状态的刻画；
观测量理论；
系统的动力学演化。
对于经典力学（Hamilton力学），三个问题的回答分别是：
相空间，(q_i,p_i)；
相空间上的函数；
Hamilton方程。
对于相对论，三个问题的回答分别是：
赝Riemann流形上的张量场；
张量在局部观测者坐标下的投影；
Einstein场方程+物质场的运动方程。
（关于最后一点的评注：Einstein场方程是作用量对度规场变分所得，物质场的运动方程（比如测地方程/Maxwell方程）是作用量对物质场变分所得，它有时也可以直接从能动量守恒方程（作用量的微分同胚不变性）导出。有些地方说物质场的运动方程可以直接从Einstein场方程导出，但是Feynmann的lecture里说这个说法misleading。不管怎样，即使可以直接从Einstein场方程导出，也未必方便，所以理解成作用量对物质场变分所得的独立规律未尝不可）
对于量子力学，这三个问题的回答分别是：
1.Hilbert空间里的态矢。更准确地说应该是其中的一条射线：
2.观测量是厄米算符。其谱就是所有可能的观测结果，特征向量构成一个正交归一的基，态矢在上面的投影的模方就是概率。
3.在Schrödinger图景下是Schrödinger方程，在Heisenberg图景下是Heisenberg方程。
Hamilton量算子作为控制系统时间演化的量，其特征值问题是最要紧的。可以显然看出，Hamilton算子的本征态就是定态，只要把初始态势投影在上面，之后的时间演化都是直接给出的。所以我们求解一个量子力学系统（比如氢原子能级），说的就是求解其Hamiltonian的谱。
作为正则量子化的例子，复习一下一维量子谐振子的求解，即Hamiltonian的特征值和特征向量。对于这样一个Hamiltonian：
简单粗暴地上幂级数方法也是可以的，结果是
还可以把各个本征态画出来：
但是我们现在要说的是另一个比较取巧的解法：阶梯算符方法。总的想法就是把Hamiltonian用产生和湮灭算符表示出来，然后利用产生湮灭算符的对易关系去凑出不同本征态之间的升降关系。算符如下：
我们发现它们作用在某个Hamiltonian的本征态|n>上会给出能量高或者低一点的另一个本征态。那么我们就能喜闻乐见地用它们产生所有本征态。不过我们还不知道|0>是个啥，但是利用a|0>=0是很容易解出|0>的。这样一维量子谐振子就得以完全求解。
把基本的量子力学推广到一个标量场。当然矢量场，旋量场一样可以。量子场论里场是基本的，场的基态就是真空，激发态就是粒子。量子化的粒子有随机的位置和动量，那么量子化的场自然也有随机的\phi和\pi。
把粒子变成场，那么正则坐标x和正则动量p就变成场本身\phi和由它定义出的动量\pi。此时Hilbert空间内的矢量\Psi变成场的泛函，|\Psi[\phi]|^2就是随机场分布的概率测度。
这时候位置算符和动量算符会如何？直接按照粒子的做法，我们可以写出：
其中的delta是泛函导数（容易验证它们满足正则对易关系）。这样Hamiltonian作为一个泛函到泛函的算子其定义也是明确的。薛定谔方程也同样是：
原理上跟前面没有任何区别。接下来我们一样是要求解Hamiltonian的特征值问题。但是对于泛函总是不太好下手。毕竟连函数的薛定谔方程解起来已经够麻烦了。
这里标准的做法是下面利用产生和湮灭算符的二次量子化手段，就像前面的谐振子一样（虽然这里其实只是个一次量子化，因为我们把Klein-Gordon场作为一个经典场而不是一次量子化之后的波函数，或者说薛定谔方程的SR推广）。要知道一个随机场的测度，或者这个Hilbert空间里的泛函，是很难具体表示出来的。所以利用产生和湮灭算符的技巧，其好处就在于，其实我们只是形式地从真空态|0>出发激发得到所有激发态，但是|0>是个啥并不关心。
对于一个经典的Klein-Gordon场，其有一系列平面波解，每个平面波解对应一个一维谐振子。此时谐振子的能量可以是任意值，所以每个产生湮灭算符indexed by k。我们把场\phi展开为平面波（即Fourier变换），然后把变换中的系数改成产生和湮灭算符（类比一维谐振子，一个振动模态对应一个产生湮灭算符），就实现了场的量子化。Hamiltonian为（去掉了一个无穷大的真空能，无所谓）
于是跟一维谐振子完全一样，在真空态|0>上面作用某些a_k就变成激发态。这个谱是连续的，激发态的粒子可以有任意的能量。至于|0>则是一个Gaussian测度：
这是一个Gaussian random field，按照高维高斯分布去看它就很熟悉了。可以算出它的有限维边缘分布，就是场在不同点之间的correlation。另外我们可以看到真空|0>并不是空无一物，而是一个能量最低的H的本征态，也就是对应一个随机场（分布为|<\phi|\Psi>|^2）。这个随机场在每个点都有一个Gaussian的涨落。这个场并不是一般想象中的恒为0的场，而是有vacuum fluctuation的。真空场的每个configuration都是有可能的，比不过有些概率比较大，有些概率比较小。就像量子谐振子一样，基态并不是固定在x=0处。
理论上来说，Hamiltonian的谱和特征泛函已经完全知道了。特征值可以是任意一个正数，特征向量则是在上面这个泛函上作用对应的产生算符。比如对于以下激发态：n_1个动量为k_1的粒子，...，n_j个动量为k_j的粒子，其本征态就是
接下来我们试图把上面的理论推向弯曲时空。假设有这样一个标量场：
这里面引入了一个非最小耦合项\xi，它会给出与逗号变分号法则不同的动力学。
对于经典场论，总的作用量就是Einstein-Hilbert作用量加上它。对度规张量变分得到Einstein场方程，对\phi变分得到物质场运动方程（Klein-Gordon的样子加上一个曲率项），然后就可以定义一个初值问题，求解度规场和物质场的时间演化。
注意现在量子化（半经典）要做GR的Hamiltonian formulation（毕竟是要求解Hamiltonian的谱），它肯定是3+1的，需要做时间切片（参考ADM）。对偶动量（场）为（如上所述，取决于3+1，所以并不是一个标量场）
场的运动方程为
我们假设固定的时空背景，不考虑这个标量场的能动张量对度规张量的影响。
我们同样可以找到这个方程的一组正交解（“平面波”）然后把\phi用这组解展开，把展开后的系数换成产生湮灭算符实现量子化。问题在于，这时候的t坐标是随意的，对于某一个坐标参数化方式，我们可以找到方程的一组「类比于平直时空」的“3+1平面波解”，然后得到产生湮灭算符和真空态。但是如果换一种参数化（3+1分解），真空态和算符也会不同（相比之下，SR中有“一组”特殊的3+1坐标系，而且虽然也是一组，但是彼此之间仅仅差了个洛伦兹变换，可以证明上一小节的本征值问题在洛伦兹变换下是不变的）。对于某一个f-真空态|0_f>，从g去观测<0_f|H_g|0_f>可能有正数目的粒子数/能量。这件事会在下面的Unruh效应中体现。
考虑一个最简单的情况：1+1平直时空上的最小耦合无质量标量场。它可以按照前面的方式，在惯性坐标系下量子化，把这个真空态叫做|0_M>，产生湮灭算符记为a_k（此时k只是个一维量了）。接下来考虑把它在加速度为a的Rindler坐标系（具体表达式见之前的文章）下量子化，同样是求出经典的平面波解（这时候表达式很简单），然后把系数换成产生湮灭算符，记为b_k，真空态记为|0_R>。那么在Rindler观测者的观测下，|0_M>就是不再是|0_R>，而是Rindler坐标系下若干激发态的叠加。我们可以计算一下Rindler观测者观测到的“真空”在动量为k的激发态的粒子数的平均值，也就是粒子数算符的期望值：
具体的计算结果为：
退回到经典，平均值在大数定律下就是我们观测到的值，这表示不同能量的粒子的分布遵从Bose–Einstein统计，其对应的温度为
称为Unruh温度。也就是说，Rindler观测者观测到的Minkovski基态不是基态，而是被激发到一系列激发态的叠加态，这一列叠加态对于能量的分布遵从Unruh温度下的Bose–Einstein统计，似乎处在一个额外的热库当中。
如果代入数值计算一下，Unruh温度为4.06a×1e−21 K（a为m/s^2单位）。这是一个极其低的温度。微波背景辐射都有2.7K，对于普通的加速运动，这个Unruh效应肯定要淹没在微波背景辐射里面。
有一个问题是，0的背景能动张量下运动观测者是怎么观测到粒子的。这个问题其实很好解答，匀加速观测者自己是要消耗能量的，用于激发量子态的能量来自这部分能量而不是背景能动张量。
对于弯曲时空，前面（关于「运动观测者观测到的真空态」）计算虽然原则上能进行，但仅仅Klein-Gordon方程的解就不容易找了，接下来量子化和算粒子数算符的期望值就更麻烦。所以下面仅仅通过Unruh效应启发性地理解Hawking辐射。严格的计算思路和前面是一样的。
假设Schwarzchild黑洞的时空中有一个标量量子场。这个量子场在事件视界附近(r)的自由坠落观测者看来是一个真空。当然我们知道，对于加速观测者，就会有Unruh效应，看这个场处于激发态。这个固定观测者在平均意义下看到一个辐射谱，其中能量为\omega的辐射率为
其中的Unruh温度可以通过固定观测者的4-加速度计算出来：
这个辐射谱在辐射到无穷远处之后会有一个引力红移，光子的频率下降，等效到分布中，就是T降低：
把这个r取到事件视界上，就得到无穷远处观测者观测到的黑洞辐射温度：
更加确切的说法是黑洞有一个辐射谱，Hawking温度是这个分布的参数。就像普朗克的黑体辐射定律一样，不同温度对应着不同的辐射谱曲线，温度越高辐射越强：
更加一般的结论是，对于任意种类的黑洞（允许角动量和电荷），任意种类粒子的辐射（允许费米子和玻色子），Hawking辐射的谱为：
其中\Gamma为greybody factor（只取决于黑洞本身的参数）。这就像一个普通的黑体辐射。注意这个黑体辐射没有包含关于事件视界内部任何的信息，所以导致了黑洞信息佯谬。
我们来具体看一下这个温度的大小。
温度与黑洞质量成反比。比如一个太阳质量的黑洞，辐射还没有吸收的微波背景（2.7 K）多；这种低温对应的是一个很宽的辐射谱，从低能到高能的辐射都很少，基本相当于没有，所以仍然可以看成字面意义上的黑洞。微型黑洞则温度很高，蒸发地很快。黑洞辐射过程中损失质量，温度越来越高，这跟一般的物体不同，可以看成具有负比热。能够蒸发的黑洞霍金温度必须超过2.7K，它的质量要比月球小。这样的黑洞，其直径会小于0.1毫米。
假如我们想要这个黑体辐射聚集在可见光段（黄色的黑洞），就得要求其温度在太阳左右（6000K），由此计算出黑洞质量为1e19kg，大概是千分之一的月球质量。其寿命为1e34年，所以这种小原初黑洞是能存活至今的。不过其半径只有10nm。理论上对黑洞质量并没有约束，只是不同形成方式的约束。比如大质量恒星的引力坍缩形成的黑洞（>3倍太阳质量），星系中心的大质量黑洞（10^9太阳质量），来自宇宙早期大爆炸暴涨时物质的超高密度的原初黑洞（小到普朗克质量，大到几千个太阳质量）等。
另一个角度的informal的理解是，事件视界附近的真空中有虚粒子/虚反粒子对popping in and out，在二者湮灭之前，其中一个粒子落入事件视界，另一个跑向无穷远处。前者具有负能量（虚粒子是off mass shell的，负能量也不奇怪），而且虚粒子未必要在光锥内部运动，所以有限时间内进入事件视界也不奇怪。这个粒子相当于把黑洞的能量减少了，而跑出去的那个则带走了原来预支的能量，总的能量还是守恒的。跑出去的粒子"boosted" by the black hole's gravitation into becoming real particles，就成为Hawking辐射。
Hawking辐射的一个推论是，黑洞会蒸发，损失质量，因此可能有一个有限的寿命（如果没有通过其它方式获取质量的话）。因为越小的黑洞温度越高，辐射损失越快，同时本身自己就没有多少质量，因此在正反馈作用下会很快损失质量蒸发殆尽，辐射的能量也越来越高，以一场gamma射线爆发作为结局。下面计算出具体的蒸发时间，可以利用Stefan-Boltzman定律估算：
一积分就得到黑洞寿命：
这个三次方就体现了前文说的正反馈。太阳质量的黑洞寿命已经远超宇宙目前的年龄了，毕竟温度很低。质量比较小的原初黑洞则可能活不到现在。至于非常小的可能存在的黑洞，比如1kg大小，蒸发时间就是1e-16s。曾经有关于LHC会产生微型黑洞导致世界末日的说法，但是这种黑洞即使存在，蒸发也实在太快（吸积其它物质增加质量也来不及），实在难以产生威胁。况且造出微型黑洞的能量至少要1e19 GeV，远超目前的技术水平。另一个角度说，宇宙里随时都有远超LHC能量上线的射线，比如1991年探测到的The Oh-My-God Particle是LHC上限的1000万倍。然而我们并没有看到哪个行星因此产生微型黑洞然后被毁灭了。
