高中生在做题目时的灵感

众所周知😎 三角形的

面积

有好多种

算法👁️‍🗨️

做题的时候突发奇想

怎么去证明园

内接

三角形的面积

最大值

呢😖？ 这个问题看起来

很艰难😩

如果转化为

三角函数

就很简单了

如图 如果有一个圆内接三角形ABC 根据

正弦定理

可得：

AC

/

sinB

=

AB

/

sinC

=

BC

/

sinA

=

2r

S△ABC

=

1/2

x

AB

x

AC

x

sinA

带入得 ：

S△ABC

=

1/2

x

2r

x

sinB

x

2r

x

sinC

x

sinA

=

sinA

x

sinB

x

sinC

x

2r**2

（

**2 代表二次方

）

因为r是个

变量

可以设为

任意数

所以实际上我们只要求

sinA

x

sinB

x

sinC

的

最大值

我们学过

基本不等式

：

（

a

+

b

）>=

2

（

a

x

b

）

**1/2

（

**1/2 代表1/2次方也就是开更

）

（

>= 代表大于等于

）

这其实是基本不等式的

二维

形式 基本不等式的

三维

形式为： （

a

+

b

+

c

）>=

3

（

a

x

b

x

c

）

**1/3

（

**1/3 代表三分之一次方

）

取等条件与二维的基本不等式

一样

：

当且仅当

a

=

b

=

c

时取等

所以当

a

=

sinA

，

b

=

sinB

，

c

=

sinC

时

（

sinA

+

sinB

+

sinC

）>=

3

（

sinA

x

sinB

x

sinC

）

**1/3

（

sinA

x

sinB

x

sinC

）<=（

sinA

/

3

+

sinB

/

3

+

sinC

/

3

）

**3

（

**3 代表三次方

）

当且仅当

sinA

=

sinB

=

sinC

时取等

若

sinA

=

sinB

=

sinC

根据

正弦定理

此时：

a

=

b

=

c

这个三角形为

等边三角形

所以圆内接三角形面积最大时为

等边三角形

且

最大面积

为：

（

sinA

/

3

+

sinB

/

3

+

sinC

/

3

）

**3

x

2r**2

感谢观看😝