材料力学拉伸压缩

一、轴向拉伸与压缩概述

轴向拉伸与压缩是杆件的基本变形形式之一，如图所示，其中虚线表示变形后的形状。

受力特征：受大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力；

变形特征：沿轴线方向的伸长或缩短。

1．轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

（1）轴力 FN

在外力 F 作用下，内力的合力称为轴力，用 FN 表示，其作用线与轴线重合。

符号规定：把拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。

（2）轴力图

选取一个坐标系，横坐标表示各部分横截面在杆轴线上的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力，表示出轴力沿杆轴线变化情况的图线。

应当注意：拉力绘制在 x 轴上侧，压力绘制在 x 轴下侧。

（3）正应力

与轴力对应的是正应力。根据变形固体的基本假设和平截面假设，横截面上的正应力均匀分布且相等，于是可得拉（压）杆横截面上正应力的计算公式ζ＝FN/A

符号规定：拉应力为正，压应力为负。

2．直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

（1）表达式

横截面面积为 A 的直杆在轴向拉力 F 作用下，

任意斜截面的总应力为

pα＝（Fcosα）/A＝ζcosα

垂直于斜截面的正应力为

ζα＝pαcosα＝ζcos2α

相切于斜截面的切应力为

ηα＝pαsinα＝（ζcosα）·sinα＝（ζsin2α）/2

式中，α 为斜截面与横截面的夹角，以横截面外向法线至斜截面外向法线逆时针转向为正，反之为负。

（2）应力极值

①正应力：

α＝0，ζαmax＝ζ；

②切应力：

α＝45°，ηαmax＝ζ/2； 

③平行于杆轴线的纵向截面上无任何应力，即

 α＝90°，ζα＝ηα＝0。

二、材料拉伸或压缩时的力学性能

1．基本概念

（1）材料的力学性能：

又称机械性质，是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性，须由实验测定。（2）标准试样：

拉伸和压缩试验采用标准试样，标准试样标距 l 与直径 d 的比值有两种，l＝5d 和 l＝10d。（3）低碳钢：

含碳量在 0.3%以下的碳素钢。

（4）拉伸图：

根据试验得到拉力 F 和伸长量 Δl 的关系曲线。

（5）应力—应变曲线：

表示应力 ζ 和应变 ε 关系的曲线。

（6）屈服：

应力基本保持不变，应变显著增加的现象。

2．低碳钢拉伸时的力学性能

（1）低碳钢的拉伸图和应力—应变曲线如图所示。

（2）力学性能）——很重要

①弹性阶段

如图所示曲线的 Ob 段，材料的变形是弹性变形，Oa 段变形满足胡克定律，但 ab 段变形不满足胡克定律。

a．比例极限

a 点是变形服从胡克定律的最高极限点，所对应的应力即为比例极限，用 ζp 表示。

b．弹性极限

b 点是产生弹性变形的最高极限点，所对应的应力即为弹性极限，用 ζe表示。

②屈服阶段

如图所示锯齿形线段，表现为应力基本保持不变，应变显著增加。

a．上屈服极限：该阶段内的最高应力，一般不稳定。

b．下屈服极限：该阶段内的最低应力，是稳定的，通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服强度，用 ζs 表示。

材料的屈服表现为显著的塑性变形，屈服极限 ζs 是衡量材料强度的重要指标。

③强化阶段

如图所示 ce 段，试样横向尺寸明显缩小。材料进入强化阶段后达到最高点 e 时，对应材料所能承受的最大应力 ζb 称为强度极限或抗拉强度，该应力是衡量材料强度的另一重要指标。

④局部变形阶段

如图所示 ef 段，该阶段将出现缩颈现象，横截面面积迅速减小，直至 f 点试样被拉断。

（3）性能指标

①衡量材料强度的指标：屈服极限和强度极限。

②衡量材料塑性的指标：伸长率和断面收缩率。该指标越高，表明材料塑性越好。

伸长率：试样标距 l 的改变量与原始标距 l 的比值，用百分数表示，即δ＝[（l1－l）/l]×100%

断面收缩率：试样横截面积的该变量与原始横截面积 A 的比值，用百分数表示，即ψ＝[（A－A1）/A]×100%式中，A1 为拉断后径缩处最小横截面面积。

（4）卸载定律和冷作硬化

①卸载定律

卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。

卸载特性：卸载斜直线与弹性阶段变形直线近乎平行，如图所示的直线 dd′和 Oa。 

②冷作硬化卸载后，短期内再次加载，比例极限（弹性阶段）提高，塑性变形和伸长率降低的现象，经退火后可消除。

3．其他材料拉伸时的力学性能

根据材料伸长率 δ 的不同可分为两类：

①δ＞5%，为塑性材料，其塑性指标较高，抗拉能力较好，强度指标是屈服强度，拉伸和压缩时屈服强度相同；

②δ＜5%，为脆性材料，其塑性指标较低，拉伸强度 ζb 远低于压缩强度 ζc，强度指标是强度极限。

应当注意：材料无论是塑性的还是脆性的，都将随着温度、应变速率和应力状态的不同而不同。

（1）其他塑性材料拉伸时的力学性能

对于没有明显屈服阶段的材料，常将产生 0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标，并用 ζp0.2 表示。

（2）脆性材料拉伸时的力学性能

割线弹性模量：较低拉应力状态下的应力—应变曲线的割线斜率作为弹性模量。强度衡量指标：强度极限 ζb。

 4．材料压缩时的力学性能

（1）低碳钢低碳钢压缩时的弹性模量和屈服极限与拉伸时大致相同，屈服阶段以后，压缩试样的抗压能力随着横截面的增大也继续增高，为此无法像拉伸曲线一样得到强度极限。

（2）铸铁脆性材料在压缩和拉伸时的力学性能有较大的区别，以铸铁为例进行说明。

①铸铁在压缩时的抗压强度较拉伸时抗压强度大得多，因此宜做受压构件；

②弹性阶段很短，近似服从胡克定律。

5．温度和时间对材料力学性能的影响（本知识点仅做了解）

①短期静载下温度对材料力学性能的影响在一定高温度下对金属材料进行短期静载拉伸试验可获得材料参数（ζs，ζb，E，δ，ψ）随温度的变化情况。对于低碳钢，ζs 和 E 随温度升高而降低；以 250℃～300℃为界，随温度升高，δ 和 ψ 先减小后增大，而 ζb变化规律与 δ 和 ψ 相反。低温时，碳钢趋于变脆，其弹性极限和强度极限相对提高，而伸长率降低。

②高温、长期静载下材料的力学性能蠕变：当材料长期处于某一高温度、应力超过材料限度时，随着时间增长，材料变形缓慢增加的现象。蠕变变形是塑性变形，蠕变分为不稳定、稳定和加速三个阶段。松弛：随时间增长，蠕变变形逐渐代替原有的弹性变形，零件内预紧力逐渐降低的现象。

三、强度计算--很重要

失效是指由于断裂和出现塑性变形而致使构件不能正常工作。

1．确定许用应力 

（1）极限应力指标

脆性材料取强度极限 ζb 作为极限应力；

塑性材料取屈服极限 ζs 或 ζp0.2 作为极限应力。

（2）安全因数

脆性材料的安全因数的范围为 nb＝2.0～3.5，甚至取为 3～9；

塑性材料的安全因数的范围为 ns＝1.2～2.5。 

（3）许用应力

脆性材料[ζ]＝ζb/nb

塑性材料[ζ]＝ζs/ns 或者[ζ]＝ζp0.2/ns 

2．强度条件

（1）构件拉伸或压缩时的强度条件

ζ＝FN/A≤[ζ] 

（2）强度条件的应用

根据以上强度条件可进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等强度计算。

①强度校核已知拉（压）杆的材料、尺寸及所受荷载的情况下，检验构件能否满足上述强度条件。

②截面选择已知拉（压）杆所受荷载及所用材料，按强度条件选择杆件的横截面面积或尺寸，即A≥FN，max/[ζ] 

③许可荷载计算已知拉（压）杆的材料和尺寸，按强度条件来确定杆所能容许的最大轴力，从而计算出其所允许承受的荷载，即 FN，max≤A[ζ]

四、轴向拉伸或压缩时的变形与应变能

1．变形

等直杆长度受轴向力作用，变形前后的几何尺寸如图所示。

（1）轴向变形：Δl＝l1－l，轴向线应变：ε＝Δl/l。 

（2）横向变形：Δb＝b1－b，横向线应变：ε′＝Δb/b＝（b1－b）/b。 

（3）泊松比 μ：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值，又称横向变形因数，即μ＝|ε′/ε|它是材料固有的弹性常数。对于各项同性材料取－1≤μ≤1/2，不可压缩材料 μ＝1/2。当－1＜μ＜0 时，为负泊松比材料或拉胀材料，表现为材料伸长且横向增大（或轴向缩短横向缩小）。

（4）胡克定律：杆件内的应力不超过材料的比例极限时，杆件的伸长量 Δl 与拉力 F 和杆件的原长度 l 成正比，与横截面面积 A 成反比，其表达式为

ζ＝Eε 或 Δl＝Fl/（EA）

式中，EA 称为杆件的抗拉（或抗压）刚度。

注意：上述公式同样适用于轴向受压，只需改拉伸变形为压缩变形，并符合相应符号规定即可。

2．应变能

（1）基本概念

①应变能：固体在外力作用下，因变形而储存的能量。

②应变能密度：单位体积内的应变能。

③回弹模量：以比例极限 ζp 求得的应变能密度，是度量线弹性范围内材料吸收能量能力的基本量。

（2）计算公式

①应变能密度νε＝ζε/2＝Eε2/2＝ζ2/（2E）

②应变能根据功能原理计算Vε＝FΔl/2＝F2l/（2EA）

根据应变能密度计算Vε＝νεV（杆件内应力均匀）

③适用范围：线弹性范围内的应变能及应变能密度计算。

五、拉伸、压缩超静定问题

1．基本概念

（1）静定问题：杆件的轴力可由静力平衡方程求出的问题。

（2）超静定问题：杆件的轴力并不能全由静力平衡方程解出的问题。

（3）温度应力：在超静定结构中，由温度变化引起膨胀或收缩变形，物体变形将受到部分或全部约束，从而引起的杆件内的应力。

（4）装配应力：在超静定结构中，将具有加工误差的杆件装配到结构中，产生杆件内力，而引起的应力。

2．超静定问题求解

超静定问题求解需综合静力方程、变形协调方程（几何方程）和物理方程等三方面的关系。

其中，变形几何方程是根据变形协调条件建立的，物理方程主要有两种情况：

①温度变形：ΔlT＝αlΔT·l；

②杆件变形：胡克定律。

将物理方程带入变形几何方程得到补充方程，通过补充方程与综合静力方程的联立即可得解。

求解的一般步骤为：

（1）确定静不定次数，列静力平衡方程。其中，静不定次数＝未知力的个数－独立平衡方程的数目。

（2）根据变形协调条件列变形几何方程。

（3）将物理方程（变形与力之间的关系）代入变形几何方程得补充方程。

（4）联立补充方程与静力平衡方程求解。

六、应力集中的概念

应力集中指由于杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象。

应力集中因数反映了应力集中的程度，是发生应力集中截面上的最大正应力 ζmax与该截面上的平均应力 ζ 的比值。

注意：

①由塑性材料制成的杆件，在静载荷作用下通常不考虑应力集中的影响；

②对于由脆性材料或者塑性较差的材料制成的杆件，应考虑应力集中的影响，按局部最大应力进行强度计算，但铸铁除外；

③在动荷载作用下，均需考虑应力集中的影响。

七、剪切和挤压的实用计算

1．剪切

受力特征：某一截面两侧很近处有大小相等，方向相反，垂直轴线的作用力。

变形特征：受剪杆件的两部分剪切面上相互平行发生相对错动。

强度计算：η＝FS/A≤[η]。

式中，FS为作用在剪切面上的剪力；A 为剪切面的面积；[η]为许用切应力。

2．挤压

挤压指在外力作用下，发生与连接件和被连接件之间的接触面上相互压紧的现象。

挤压的强度条件ζbs＝F/Abs≤[ζbs]

式中，F 表示挤压面传递的力；Abs 为挤压面积；[ζbs]为许用挤压应力。

注意：挤压面积的计算根据挤压面的不同而不同：对于圆柱面接触面，挤压面积取直径平面的面积；对于平面接触面，挤压面积为平面面积。

【END】本章内容不是很难，但是内容比较多，各位同僚多多复习o~

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