2015湖北高考理科数学压轴题-解析几何、导数/数列

传言2015年是湖北数学自主命题的最后一年，题目难度直线上升。放一下解答题最后两题解析几何和导数/数列的解答过程。 解析几何模型比较有趣，第一问只要读懂题意，通过定比分点公式就能求出M的坐标和轨迹公式。 第二问考察计算能力，一个取巧的办法是直接设出切线方程，就能省去计算判别式等于零的过程。再计算点到直线距离、弦长长度就能算出三角形面积，进而根据定义域求出其最大值。

压轴题本质上是一道数列问题。第一问送分，也给第三问提供了一些提示。第二问分析前三项就很容易猜出通项公式，其本质是累乘法，但题目要求证明，故采用数学归纳法证明，也比较简单。 第三问难度非常大。题目乍一看十分诡异，但是首先注意到证明要求中有一个奇怪的e，而e仅仅在第一问中出现，其和题干里bn关于an的表达式相关，于是考虑将证明对象先转化为关于bn的表达式，再转化成an，这样就能“变出”这个奇怪的e。于是首先代用第二问的结论，将Tn转化为关于bn的表达式；第二步用基本不等式将(1/n)次幂转化为算数平均值，再合并同类项。进而注意到分母都是成n(n+1)型，于是采取裂项，就可以得到一个十分简单的关于b1、b2、…、bn的表达式，再用an代换，即可证明。