微积分（八十四）——共形映射（上）

2023-06-15 00:00 作者:Mark-McCutcheon 0人读过 | 我要投稿

为了研究解析函数究竟特殊在何处，我们需要将其与之前的内容——场，建立联系。

由前一节我们知道当函数 $f(z)$ 可导，则有

$%5C%5Cdf(z)%3Df'(z)dz$

我们现在考虑复平面上的点 $z$ 及其增量 $%5CDelta%20z$ ：

我们知道 $f'(z)$ 是一个复数，因此因变量的增量就等于这个复数乘以自变量的增量（根据上面的式子），也就是说，当自变量一定时，只要增量足够小，就可以认为因变量增量的辐角始终比自变量增量的辐角多一个常量（即导数值的辐角），因变量增量的模长始终等于自变量增量的模长乘以一个常数（即导数值的模）。

划重点：首先把函数看成一个变换，即因变量是自变量经函数变换后的像，因变量的增量是自变量增量变化后的结果。现在我们把自变量的某个小邻域内的点都看成自变量作增量后的结果，则对于两个不同的点，它们对应的增量之间有一个夹角，在经过函数的变换后，两增量的辐角都加上了一个常量，这意味着它们之间的夹角是不变的，整个邻域被旋转了相同的角度。而由于所有增量的模长均乘以了一个常量，故这个邻域可以被看作是均匀地被放大了。因此，我们认为复变函数对某一小块区域产生的的作用是：伸缩加旋转。

在这种作用下，一个足够小的圆形在经过复变函数作用后，它看起来应该还是一个圆形。而一个足够小的三角形经作用后，由于三边旋转了一样的角度，并且三边伸缩程度一致，因此它看起来仍然是同一个三角形（相似）。这告诉我们复变函数产生的变换具有某种形状不变性，我们称这样的映射为共形映射。

为了进一步阐明共形性，我们作如下推导：

将解析函数看作场处理。设有函数

$%5C%5Cf(z)%3Du(x%2Cy)%2Bv(x%2Cy)i$

令其在 $z%3Dx%2Biy$ 可微，令增量 $%5CDelta%20z%3D%5CDelta%20x%2Bi%5CDelta%20y$ ，因变量对应增量为 $%5CDelta%20u%2Bi%5CDelta%20v$ ，于是

$f'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20z%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20f(z)%7D%7B%5CDelta%20z%7D%20%5C%5C%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%5C%5C%5CDelta%20y%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20u%2Bi%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20x%2Bi%5CDelta%20y%7D%20%20%5C%5C$

现在我们只考虑从两坐标轴的方向进行逼近。首先设 $%5CDelta%20y%3D0$ ，则

$%5C%5Cf'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20u%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%2Bi%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20$

由于函数可微，因此上式实虚部必都存在，即

$%5C%5Cf'(z)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%2Bi%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20$

同理从另一个方向趋近可以得到：

$%5C%5Cf'(z)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20-i%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20$

比较上述两式得：

$%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20$

上式成为Cauchy-Riemann方程，简称C-R方程。由上述推导可知它是复变函数可微的必要条件。

又根据之前的内容，我们有Jacobi矩阵描述空间任一点附近的的变化情况。如果我们假设 $u$ 和 $v$ 均可微的话，我们就可以把它利用进这个情形里：

$%5C%5C%5Cbegin%7Bbmatrix%7Du_x%26u_y%5C%5Cv_x%26v_y%5C%5C%20%5Cend%7Bbmatrix%7D$

那么根据前面的推导结果，我们发现这个矩阵就是在描述伸缩加旋转的变换。这与我们之前的推到结果相符。

解析函数可以看作具有共形性的特殊的场，这部分导致了它在函数研究中的重要地位以及读者接下来会看到的其所具有的优美的性质。

解析函数及其共形性不光在数学中占有无可取代的地位，在其他学科的研究中也有无比重要的应用。例如，俄罗斯航空学之父茹科夫斯基（Жуков ский）作为世界上研究现代空气动力学和流体动力学的先驱，发明了茹科夫斯基函数（又称机翼变换）应用于飞机翼型的研究中，这个映射将圆映射为机翼形，而其逆映射又能将其映射回圆。这将十分复杂的问题转化为了更为简单的问题处理，对航空学发展有着不可磨灭的作用。