悬链线与双曲函数、反双曲函数（2）

        我们来认识一下前文中部分奇奇怪怪的新符号。

        认识双曲函数，我们从一个熟悉的角度。

        容易证明，为奇函数，为偶函数函数，为奇函数。

        其实，这三个函数分别为双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数。

        分别记作

        所以，这些名称是怎么来的？

        首先有一个恒等式：

        似乎有某些相似之处。

        同样，我们发现

        事实上，我们可以定义

    ## 注意：该定义非常重要，因为计算起来会比较简便。

        这个定义从何而来？笔者猜想来自欧拉公式。

        令

        我们得到

        原来，双曲正弦和双曲余弦不过是指数函数的两部分。

        当然，根据双曲正弦和双曲余弦的新定义，我们也就有

        代入恒等式，会发现

        至于“双曲”之名，则是来自于双曲线。

        考察参数方程

        我们就会发现

        是一组双曲线。

        我们研究双曲函数的导数。

    ## 注意：和三角函数不同，这里没有负号。

        限于篇幅与繁复的计算，下面不加证明地给出剩余几个双曲函数的定义及诸多恒等式。

    ## 不熟悉三角函数的导数的可以参看以下链接。

    ## 注意：以上有若干处正负号和三角函数不同。

    ## 这两个级数加起来就是指数函数的泰勒展开。

    ## 棣莫弗公式

        双曲函数广泛应用于悬链线、四维空间的转动等地方。