论球体

        球体（球）无疑是立体图形中最为对称的一个。

        数学上，定义球体是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。

        注意：球体是在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合，而在空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球壳。

        下面推导球体的表面积公式。

        阿基米德推导出，球的表面积是其内接最大圆面积的四倍。

        即

        他的推导如下：

        如图所示，淡蓝色细条的面积

        同时，我们把该细条投影到球外接圆柱体上，对应的投影面积

        所以

        然后把这一系列的细条累加，就得到了以下结论：

            球的表面积等于其外接圆柱体的侧面积。

        因此，

        其实，都得到淡蓝色细条面积了，就不妨直接积分。

        提及球的体积，就不得不提到祖暅原理。

        祖暅原理：

            幂势既同则积不容异。

        也就是说，等高的两立体图形，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体图形体积相等。

        先举一个简单的例子，从平面图形入手。

        大家小学二年级都学过，同底等高的三角形面积相等。

        这其实也可以用平面中的祖暅原理来简单说明。

        如图所示，两同底三角形被蓝色平行线所截，得到的两条线段长度应该是相等的。（这一点很容易通过平行线分线段成比例得到）

        那么，将所有这样的线段微元累加起来，便得到同底等高的三角形面积相等这一性质。

        同样的，在立体图形中，也有这样的性质。

        关于球的体积的计算方法，很著名的一种便是采用祖暅原理计算出来的。

        首先介绍圆锥体积公式。

        圆锥体积不会算？那就转化为棱锥体积来算。

        考察三棱柱。

        如图所示，一个三棱柱可以分割为三个体积相同的三棱锥。（这三个三棱锥两两之间等底等高体积相等）

        那么，就有

        这里表示底面面积，表示高。

        然后考察底面积、高均相同的三棱锥和圆锥。

        我们发现，在同一高度上，根据相似可知，是相同的。

        结合相同，我们得到，同一高度上三棱锥、圆锥与平面交面的面积相同。

        根据祖暅原理，三棱锥和圆锥的体积是相等的。

        因此，我们得到圆锥的体积公式

    ## 当然这一切用积分都可以解决。

        考察倒置的圆锥。

        然后考察如下图形：球与如图放置的圆锥。

        观察在高度为处圆锥与球截面的面积。

        我们意外发现，

        也就是说，在高度为处，球截面的面积等于圆柱截面的面积减去圆锥截面的面积。

        根据祖暅原理，我们有

        下面给出积分解法。

        考察薄球壳累加，

        另一种著名的计算方法来自球坐标系。

        基础知识：在空间直角坐标系中，该点坐标可以表示为

        考察该处的微元，有

        所以