【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第十五章振动和波

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】

§15-7受迫振动，共振

【01】以上我们研究了固有振动和阻尼振动。现在我们再来研究在自然界中和技术上时常看到的另一种振动——受迫振动。

【02】物体在周期地变化的外力（或一般称策动力）作用下的振动，叫做受迫振动。

【03】缝纫机上缝针的振动，蒸汽机活塞的振动，机器开动时所引起的机座的振动，人在架空木板上走动时木板的振动等等，都是受迫振动。

【04】我们可以用图15·9所示的装置来进行研究。当匀速转动把手时，我们就通过弹簧给重物一个周期性的策动力，这个策动力变化的周期就等于把手转动的周期。

【05】当开始转动把手的时候，弹簧和重物的振动是很复杂的。但经过很短的一段时间以后，振动就达到稳定状态，变成为周期性的振动了，而振动的周期就等于策动力变化的周期。

【06】如果我们用不同的速度来匀速地转动把手，就可以看到，无论策动力变化的周期如何，在达到稳定状态以后，重物的振动周期总是等于策动力变化的周期。所以，作受迫振动的物体在达到稳定状态后的频率，总是等于策动力变化的频率，而与物体的固有频率没有关系。

【07】从这个实验中还可以看到，受迫振动在达到稳定状态后，策动力对振动物体所作的功，恰好补偿振动物体因阻尼而损失的能量，因而振动的振幅保持不变。也就是说，达到稳定状态的受迫振动是无阻尼的。

【08】现在我们来讨论受迫振动中的一种很重要的特殊情形，这就是策动力变化的频率（或周期）与物体的固有频率（或固有周期）相等时所发生的现象——共振。

【09】在图15·9的装置中，如果我们先慢慢地匀速转动把手（例如每5秒钟转动一次），记下重物的振幅，然后逐渐加快转动速度，就可以看到重物的振幅也逐渐增大。当把手转动的频率与重物的固有频率非常接近时，受迫振动的振幅变得很大，可以达到原先的好几倍。再增加把手的转动速度，我们发现受迫振动的振幅又变小了。如果把手转得非常快，重物几乎不振动了。

【10】再用图15·10所示的装置来观察共振现象。在一根张紧的绳上悬挂两个摆 A 和 B，B 摆的摆长是固定的，A 摆的摆长则可以用手拉摆线的自由端来加以改变。

【11】先把 A 摆放在图中用Ⅰ标明的位置，使它开始振动，于是可以看到，B 摆也发生振动。现在改变 A 摆的摆长，观察 B 摆的振幅如何发生变化。我们发现，在 A 摆的摆长逐渐减小的时候，B 摆的振幅要逐渐增大。当两个摆的长度相等的时侯，B 摆的振幅最大，如图中Ⅱ所示。如果继续减小 A 摆的摆长，使它比 B 摆的摆长为小的时候，B 摆的振幅又变小了。

【12】我们知道，当 A 摆振动的时候，它是通过水平张紧的绳给 B 摆一个作用力的，这个力就是使 B 摆作受迫振动的策动力。显然，策动力变化的频率等于 A 摆振动的频率。而 A 摆振动的频率是随着摆长的减小而增加的。所以当 A 摆的摆长等于 B 摆的摆长的时候，策动力变化的频率就等于 B 摆的固有频率。

【13】因此，根据上面两个实验，我们可以得到这样的结论：当策动力变化的频率等于物体的固有频率的时候，也就是发生共振的时候，物体的受迫振动的振幅最大。

【14】图15·11是受迫振动的振幅与策动力变化的频率的关系图线。图中 f固 代表振动物体的固有频率。从图上可以看出，当策动力的变化频率 (f策) 等于物体的固有频率 (f固) 时，振幅达到最大值，用图中 K 点的纵坐标来表示。频率 f策＝f固 叫做共振频率。当策动力的频率大于或小于共振频率时，物体的振幅都比共振时的振幅小。

【15】为什么在共振频率时物体的振幅能够达到最大值呢？我们知道，要使一个悬挂着的物体振动起来，必须要有一个外力来推动它。这个外力并不要很大，但一定要与物体的运动方向相同，这时外力就会使振幅增大。如果所加的外力与物体的运动方向相反，因而阻碍物体的运动，就会使物体的振幅减小。策动力的变化频率与物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的推动次数就越多。当策动力的变化频率等于物体的固有频率时，它的每一次推动都有使物体的振幅增大的作用，所以这时物体的振幅就最大。

【16】共振在许多现象中具有很重要的意义，在某些现象中它是有用的，在另一些现象中，它又是有害的。

【17】共振现象常常被应用在发声振动中，发声振动的共振现象叫做共鸣。例如音叉往往装在一只空箱上，这个空箱就叫做共鸣箱，它的作用是使箱里的空气柱与音叉共鸣，以增强声音。

【18】在电磁波的接收过程中，共振现象也是非常重要的，例如收音机的调频，就是利用共振现象来进行的，关于这一方面我们将在第三册电磁学中加以讨论。

【19】反之，在另一些现象中，又必须设法避免共振的发生。例如当军队或火车通过桥梁时，整齐步伐的作用力，或火车车轮在铁轨衔接处的撞击力，都是周期性的，如果这种作用力的频率接近于桥梁的固有频率时，就要发生共振，因此就有可能使桥梁的振幅大到足以使桥梁断裂的程度。为了防止这种情况的发生，军队在过桥时通常都禁止用整齐步伐，火车在过桥时要开慢车，使车轮与铁轨衔接处的撞击力减到很小，并使撞击力频率小于桥梁的固有频率。

【20】各种机器在工作时都有周期性的力在作用着，因此都不可避免地要发生并不需要的振动。如果这种作用力的频率接近于机器各部分的固有频率，就要发生共振，引起损坏事故。所以在工程设计时必须采用改变物体的固有频率，增加振动的阻尼等办法来避免共振或使它减弱。

习题15-7

1、钟摆的振动是阻尼振动还是无阻尼振动，为什么？

2、举出几个你所观察到的共振现象。

3、端着水盆走路时，有时会看到盆里的水振荡得越来越厉害，后来甚至从盆里溅出来，怎样解释这个现象？

4、附图所示是一种观察共振现象的装置。如果使弹簧 A 发生振动，则其他 B、C 两弹簧将发生什么现象？试解释所观察到的现象。