gamma函数

在本科的高数学习中，我们对伽马函数有过一些了解，但是多数高数教材中对伽马函数的讲解还是比较浅的，在这里我对伽马函数的一些性质进行补充（本人能力有限只能介绍一些基本性质，欢迎补充），本篇文章多用于自用，如有错误也请大家指出。

一. gamma函数的介绍

  伽马函数（gamma函数）是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数，作为阶乘函数的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写作Γ（x）。伽马函数在分析学，概率论，离散数学，偏微分方程中有重要的作用，属于应用最广泛的函数之一。伽马函数于1729年由著名数学家欧拉(Leonhard Euler)在解决哥德巴赫（C. Goldbach）提出的数列插值问题中诞生。

二.gamma函数的推导

三. gamma函数的定义

1.实数域上gamma函数定义：

2.复数域上gamma函数定义:

3.Euler无穷乘积定义：

4. Weierstrass无穷乘积定义：

当z等于1/2时，代入得到Wallis公式（点火公式）

四. gamma函数的性质

1.递推性质：

该性质可以通过分部积分法证明比较简单（读者可自行完成），从中还可以得出

2.余元公式：

当z=1/2时，可以得到重要的概率公式

余元公式的推导：

关于余元函数的证明，可以采用级数或复变函数进行证明，篇幅原因，这里暂不给出。

3.凹凸性质：对于x>0，gamma函数是严格的凸函数

4.极限性质：

5.Legendre倍元公式：

倍元公式的证明

关于证明过程中的Beta函数，可以参考下面给出的gamma函数与Beta函数的关系

6.概率论中的gamma分布：

7.与Beta函数的关系：

8.与Digamma函数的关系:

至此，本篇文章讲解了gamma函数的一些基本属性，并得到了余元公式倍元公式等重用结论。水平有限，文章有误还望指正。