【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep22】数字革命：走进新世界

今天开始，我们就真正走进一个全新的数字世界了哦！你——准备好了吗？

还记得我们在第一篇文章里提到的关于“有理数”的“域公理”吗？

按照《抽象代数》的观点：一个集合定义了“加法”和“乘法”两种运算的交换群，同时满足“分配律”就可以看作是一个“域”了。

所谓的运算其实可以看作“一个集合与自身的笛卡尔积到自身的映射”，也就是说，满足一个运算的所有成员和结果都属于同一集合（由映射的性质，所得的结果是唯一的）——这就是所谓的“封闭律”。（有小伙伴提醒我要加上这一条！）

所谓加法的“交换群”，也就是说“有理数”满足下述四个条件——

对应到《抽象代数》可以这么简记——

1. 结合律=半群

2. 有单位元的半群=幺半群

3. 有逆元的幺半群=群

4. 群+交换律=Abel群/交换群

我们的任务就是从“实数的定义”——“有理数分划”出发，定义“实数的加法”，然后验证“实数的加法”依然满足这四条基本性质——我们以后就可以在“实数”范围内自由地加加减减了，想想就开心呢！

12实数的和的定义

书上照例先从“有理数”出发，给出了“实数的和”的定义——

即是说，我们任取两个实数f、g，我们分别用两组有理数从两个方向无限接近它们，

a<f<a'，b<g<b'，

如果有一个实数h满足，对所有的（/任意的）a、b、a'、b'，有

a+b<h<a'+b'，

则成h是f和g的和，记为f+g。

注意：这里面的a'、b'、a、b是有无限多的，并且，对于我们总能找到更大的a、b满足条件，所以我们总能找到更大的a+b，同理，总能找到更小的a'+b'。

我们先证明“封闭律”，即

a.存在这个定义所述的实数，——存在性

b.这个实数是唯一的。——唯一性

1.书上先证明了“存在性”——

用到了上次提到的“确界原理”——“确界原理”的证明核心技巧是要从给出条件中找出一个有上/下界的数集，当然，因为“确界原理”是由“实数分划”导出的，所以任何能够用“确界原理”证明的题目都可以用“实数分划”来证明，数学就这么好玩的！

1. 把所有的a+b构成一个集合{a+b}，所有的a'+b'构成一个集合{a'+b'}；

2. 因为对任意a、b、a'、b'，a<a'，b<b'，所以a+b<a'+b'，即集合{a+b}有上界；

3. 根据“确界原理”，{a+b}必有上确界，记为c；

4. 所以，由上确界性质，对于任意a、b、a'、b'，a+b<=c<=a'+b'

5. 因为总能找到更大的a+b，所以{a+b}没有最大值，类似的，{a'+b'}没有最小值，所以4中的等号总无法取到，于是a+b<c<a'+b'，c即为我们所求的实数。

2.再证明这种实数是唯一的——

这里有用到了我们之前提到的那个精致的小命题——

即“无穷角度下如何理解等于”——

我们说过，证明“唯一性”往往采用“反证法”——即，假设存在两个对象满足条件，再依据已知条件与常识导出这两个对象相等，或者说等价，即可。

书中用的也就是这个思路，不过没有点明“反证法”罢了，我们再梳理一遍——

1. 假设有两个实数j<=k，满足a+b<j<a'+b'，a+b<k<a'+b'；

2. 0<=k-j<（a'+b'）-（a+b）=（a'-a）+（b’-b）；

3. 因为a、a'的取值可以无限接近g，b、b'的取值可以无限接近f，即对任意小正数e，都存在a、b、a'、b'，使得a'-a<e/2，b'-b<e/2；

4. 由2,3得，对任意小正数e，0<=k-j<e，即k=j；

5. 即该定义下，实数的和是唯一的。

我们便证明了，这种定义下的“实数的和”存在且唯一，满足运算的基本条件。

明天，我们来具体聊聊“实数加法”的四条重要运算性质，不见不散哦！