Quantum Physics I, Lecture Note 2 | Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare

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Chapter 2: Experiments with photons （关于光子的实验）

1 Mach-Zehder Interferometer 马赫-曾德尔干涉仪 

我们之前已经讨论过马赫-曾德尔干涉仪，如图1所示。它包括两个分束器 BS1 和 BS2，以及两面镜子。在干涉仪内部，有两束光，一束经过上方支路，另一束经过下方支路。这在 BS2 之后延伸出去：上方支路延伸至 D0，而下方支路延伸至 D1。

  上述图中的垂直切面与两束光线相交，我们可以询问在那束光线上找到光子的概率。为此，我们需要两个概率振幅，或者说两个复数，它们的模的平方将给出概率。我们可以将这个信息编码成一个由两个分量组成的向量，如下所示：

  这里，α 是位于上方光束的概率幅，而β 则是位于下方光束的概率幅。因此，|α|² 将是在上方光束中找到光子的概率，而|β|² 则是在下方光束中找到光子的概率。由于光子必定位于这两束光线中的一束中，我们必须满足：、

按照这个表示法，在光子明确位于其中一束光线中的情况下，我们会有：

我们可以使用向量加法和乘法的规则，将状态（1.1）视为这两个更简单状态的叠加：

在图1所示的干涉仪中，我们在下方支路中加入了一个“相移器”，这是一块材料，其唯一效应是将概率幅乘以一个固定相位 e^iδ，其中 δ ∈ R。

如图2所示，设备左侧的概率幅 α 变为设备右侧的 e^iδα。由于相位的模为1，相移器不会改变找到光子的概率。当相位 δ 等于 π 时，相移器的效应是改变波函数的符号，因为 e^iπ = -1。

  现在我们来详细考虑分束器的效应。如果入射光子从上方击中一个分束器，我们将认为该光子属于上方支路，并用（1，0）表示。如果入射光子从下方击中一个分束器，我们将认为该光子属于下方支路，并用（0，1）表示。我们在图3中展示了这两种情况。分束器的效应是为每种情况提供一个输出波函数：

正如您从图表中所看到的，对于从上方射入的光子，s 可以被视为反射概率，而 t 可以被视为透射概率。同样地，对于从下方射入的光子，v 可以被视为反射概率，而 u 可以被视为透射概率。这四个数 s、t、u、v 在线性性质的作用下，完全刻画了分束器的特性。它们可以用来预测在任何入射光子的情况下的输出情况，这些光子可能具有从上方和从下方射入的概率。事实上，一个入射光子状态（α，β）会产生以下输出

总之，我们可以看出分束器产生了以下效应：

我们可以将分束器的作用表示为对入射波函数进行矩阵乘法，矩阵为二乘二的矩阵：

我们现在必须确定关于 s、t、u、v 的限制。因为概率必须相加为一，方程（1.5）暗示着：

我们使用的分束器被称为平衡型，这意味着反射和透射的概率是相同的。因此，所有四个常数的模的平方必须相等：

让我们尝试猜测一下这些值。我们可以有：

如果对归一化的波函数（或列向量）进行作用后无法得到归一化的波函数，那么这种情况会失败。因此，我们尝试使用一些波函数对：

尽管第一个示例有效，但第二个示例不行，因为 |1|² + |1|² = 2 = 1。通过改变 v 的符号可以轻松修复这个问题：

让我们验证这个矩阵在一般情况下是否有效。因此，对一个状态（α，β）进行作用，其中 |α|² + |β|² = 1，我们发现实际上得到的状态已经被很好地归一化了。总的概率正是我们所期望的。

在方程（1.14）的右下角的负号意味着从下方射入的光子，在被反射时，其振幅将被改变一个符号，或者等效地说，会产生一个相移 π（请验证这一点！）。这个效应在实际中当然是存在的。典型的分束器由一块玻璃板组成，在一侧涂有反射性介质涂层。涂层的折射率被选择为介于玻璃和空气之间。只有当光线遇到折射率较高的材料时，反射才会引起相位变化。这在从空气到涂层的过渡中是成立的，但在从玻璃到涂层的过渡中则不成立。因此，由方程（1.14）表示的分束器如果将其涂层放在背面，透射波不会产生相位变化。

  另一种可分束器概率矩阵是：

这将通过在涂覆介电涂层来实现。您可以快速检查，就像前一个矩阵一样，它的作用也会保持概率不变。我们将称左侧的分束器为 BS1，右侧的分束器为 BS2，它们各自的矩阵将是：

将这两个分束器组合在一起，形成了图4所示的干涉仪。如果我们现在假设一个从左侧射入的入射光子波函数（α，β），那么进入探测器的输出波函数是通过首先作用于 BS1 矩阵，然后再作用于 BS2 矩阵得到的：

借助这个结果，对于任何输入的光子状态，我们可以立即写出进入探测器的输出光子状态：

  如果输入的光子束是（0，1），则从干涉仪输出的是（1，0），因此光子将在D0处被探测到。这在图5中有显示。我们可以制作一个非常简单的表格，列出可能的结果及其相应的概率P：

现在，按照图6所示的指示，封住下方的光路。那么会发生什么？最好是系统地追踪一下。输入的光束，经过BS1的作用，会产生：

这在图中被指示出来，在BS1的右侧。然后，下方支路被 阻挡，而上方支路继续进行。上方支路到达BS2，这里的输入是（1/√2，0） ，因为下方支路没有发出任何东西。因此，我们得到一个输出：

  

  在这个实验中有三种可能的结果：光子可以被阻挡吸收，或者进入两个探测器中的任何一个。正如我们在图表中所看到的，这些概率是：

值得注意的是，在封住下方光路之前，我们无法将光子送到D1。现在到达D1的概率为1/4，通过封住一条光路而增加了概率。

2 Elitzur-Vaidman Bombs 

伊利泽-威德曼炸弹测试问题

为了看到通过封住一条光路使光子到达D1是多么奇怪，我们考虑一种由以色列特拉维夫大学的物理学家Avshalom Elitzur和Lev Vaidman提出的虚构情境。他们想象了一种特殊类型的引爆器：光子探测器。一个狭窄的管道穿过每个炸弹，在管道的中间有一个光子探测器。要引爆炸弹，只需将一个光子送入管道。然后，光子被光子探测器检测到，炸弹爆炸。然而，如果光子探测器有缺陷，光子根本不会被检测到。它在管道中自由传播，从炸弹出来，炸弹不会爆炸。

  这是我们想要解决的情况。假设我们有一些艾利兹-韦德曼（EV）炸弹，但我们知道其中一些已经失效。在不引爆炸弹的情况下，我们如何判断一个炸弹是否可用？为了问题的完整性，假设我们无法在不破坏炸弹的情况下检查探测器。

  我们似乎面临着一个不可能的情况。如果我们将一个光子送入探测管道，什么都不发生，我们就知道炸弹是有缺陷的，但如果炸弹是可用的，它就会爆炸。似乎不可能在不测试的情况下确认炸弹内的光子探测器是否工作。但在经典物理学中确实是不可能的。然而，在量子力学中并不是不可能的。正如我们将看到的，我们可以进行一种被称为“无相互作用测量”的操作！

现在我们将一个EV炸弹放置在干涉仪的下方光路上，并将探测管道正确对准。假设我们像图片中所示发送了一个光子。如果炸弹是有缺陷的，就好像没有探测器，干涉仪的下方支路是自由的，我们发送的所有光子最终都会进入D0，就像在图5中一样。

另一方面，如果炸弹工作正常，我们就会面临我们在图6中的情况，即我们在干涉仪的下方支路上放置了一个障碍块

假设炸弹正常工作。那么，在50%的情况下，光子将击中它并引爆，25%的情况下光子将到达D0，我们无法判断它是否有缺陷。但在25%的情况下，光子将到达D1，由于对于有缺陷的炸弹来说，这是不可能的，我们得知炸弹是可用的！我们得知，即使光子从未通过炸弹，它最终落在了D1。如果您仔细思考，您一定会意识到这是极其令人惊讶和反直觉的。但这是真实的，实验（不使用炸弹！）已经证实这种无相互作用测量确实是可能的。