条件概率-超保姆的全面细致讲解！|小姚老师

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1、条件概率公式

  设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：

      P(A|B)=P(AB)/P(B)

分析：一般说到条件概率这一概念的时候，事件A和事件B都是同一实验下的不同的结果集合，事件A和事件B一般是有交集的，若没有交集（互斥），则条件概率为0

如：

① 扔骰子，扔出的点数介于[1,3]称为事件A，扔出的点数介于[2,5]称为事件B，问：B已经发生的条件下，A发生的概率是多少？

也即，做一次实验时，即有可能仅发生A，也有可能仅发生B，也有可能AB同时发生，

② 同时扔3个骰子，“三个数都不一样”称为事件A，“其中有一个点数为1”称为事件B。这一题目中，AB也是有交集的。

用图更能容易的说明上述问题，我们进行某一实验，某一实验所有的可能的样本的结合为Ω（也即穷举实验的所有样本），圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本，圆圈B代表事件B所能囊括的所有样本。

“B已经发生的条件下，A发生的概率”，

这句话中，“B已经发生”就相当于已经把样本的可选范围限制在了圆圈B中，

其实就等价于这句话：“在圆圈B中，A发生的概率”，

显然P(A|B)就等于AB交集中样本的数目/B的样本数目。

为什么这里用的是样本的数目相除，而上面的公式却是用的概率相除，

原因很简单，用样本数目相除时，把分子分母同除以总样本数，这就变成了概率相除。

2、乘法公式

  1.由条件概率公式得：

      P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)  

    上式即为乘法公式；

   2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：

     P(A1A2...An-)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

3、全概率公式

  1. 如果事件组B1，B2，.... 满足

    1.B1，B2....两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;

    2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

   设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：

4、贝叶斯公式

  1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有

上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)

Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)

表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；

P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

补充一下条件概率的前置知识与答疑。

概率的乘法公式：P(AB)=P(A) P(B|A)，初学的小伙伴可能会疑惑，印象中的P(AB)不是等于P(A) P(B)吗？其实是因为如果事件A与B相互独立，P(B|A)=P(B) 

（为啥呢？不妨思考下，如果事件A的发生不会影响B的发生，也就是相互独立，那么在A发生情况下B发生的概率P(B|A)当然还是等于B发生的概率P(B) ）

而平时接触独立事件问题比较多，所以习惯了P(AB)=P(A) P(B)。

而视频里给出的例子都是相互不独立的例子，所以计算P(AB)的时候要用P(A)P(B|A)哦 

例如视频第一个例子8:33 中求P(A1C)的时候，就用到的是P(A1) P(C|A1)，其中P(A1)=1/3， P(C|A1)=1/4

说P(AB)为什么不是P(B|A)，注意P(AB)和P(B|A)的含义千差万别，前者表示发生了A且发生了B的概率（相当于两个时事件都要成立的概率)，后者表示在A已经发生的情况下B发生的概率（相当于只算了一件事发生的概率)，所以后者反应的概率只是前者的一部分。

两者的关系在概率的乘法公式中得到体现。

再有，大题怎么写过程呢？

视频最后有说到，不过有小伙伴没看完，所以这里提一下:树状图是写在草稿纸中捋思路的，试卷上首先设出需要用到的事件，然后写出概率公式，带值，得到答案。（全概率公式用的最多）

注意，

书本上全概率公式中的每一项为P(A)P(B|A)，视频写出的每项为P(AB)，两者由概率乘法公式可以得出来是一样的