【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep5】对Ep2中戴德金分划的一点补充（二）
今天我们来继续昨天的话题，对Ep2中叙述上的一些小bug进行补充说明。
为了防止第一次点进来的宝宝们一脸懵逼，我们先回顾一下之前的内容：
我们在Ep2中介绍了，“戴德金分划”——
老碧也给出了阐释：“这个定义等于是说，拦腰切一刀，把有理数分为两段。两段没有公共元素，然而两段拼在一起就是有理数集，与此同时，从两段各任取一个数，其中一段取出的数永远比另一段取的数小。数大的那一组叫上组，数小的那一组叫下组。也因此，那一刀位置就有讲究了。书中列举了，三种可能性。”
分别是：
上组有最小数，下组无最大数；
上组无最小数，下组有最大数；
上组下组都无最值。
上期老碧聊到，实际上有四种可能性，老碧漏说了一种：
上组有最小数，下组无最大数；
上组无最小数，下组有最大数；
上组下组都无最值；
上组下组都有最值。
而第四种可能性，书中也给了说明为什么不可能：
对于这个证明的理解，老碧上一期做了详细的阐释，这里就不多做赘述了。感兴趣的同学可以阅读文章【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep3】。
今天我们来聊Ep2中第二个没有阐述清楚的点。
Debug2：
在对“第三种情况”的证明解释中，老碧提到了这个证明用到了“阿基米德公理”和“排中律”，但是具体怎么用到的，老碧没有说清楚，这里进行重述。
我们先看“情形三”的证明，书中以我们发现的第一个无理数根号二为例：
我在Ep2中给出如下说明：
“首先这道题的思路很简单，这道题是为了证明，如此得到的分划，上组无最小有理数，下组无最大有理数。
（这里补充一点，有一类最常见的证明题，叫做存在性命题，就是证明一个条件或者数字的存在性。
而存在性命题最常用的思路无外乎两种：
第一种——定性式证明，常用方法，反证法。
在这种证明思路中，我们只知道这个事物是存在的或者成立的。但是，这个东西具体是什么，我们不得而知。数列极限那一章的多数习题都是这个类型。
第二种——定量式证明，常用方法，构造法。
这种证明思路，就相对而言比较精细了，上来就是一系列操作，然后把那个你要证明存在的东西，按照那个操作先“制造”出来，再根据题目条件验证，所以一共分为，构造+验证两步。
这道证明题中，两种方法都有涉及。）”
注：“反证法”的逻辑根据即“排中律”——一个事件与其对立事件必有且仅有一个成立。即“老碧是人”与“老碧不是人”只会有一个是真的。
“反证法”的核心在于，用假设制造矛盾。——如果我们无法直接证明一件事是对的，那么不妨证明这件事的对立面是错的。“反证法”最普遍应用于，“证明xxx情形不成立”或者“不存在xxx，满足某条件”的证明中。
分析：
结论中“上下组都无最值”即“上下组中都不存在最值”，于是问题转化为“存在性命题”。于是方法，以下组为例，有两个途径：
（反证法）如果下组存在最大值，则只要证明在最大值与根号2之间包含其他的有理数即可；
（直接法）取下组任一元素，都发现在它与根号2之间有其他有理数即可。
稍微想一下就知道途径1和2证明逻辑相同，都是证明下组“某一特别的元素”——“最大值”，或者“随机取的一元素”与根号2之间，所以没必要用“反证法”。
证明思路：
”要证下组没有最大数，即，取下组任意一个数a，在a与根号2之间还有一个其他数，我们要做的就是构造出来这个数。
而这道题巧妙地利用阿基米德公理，以及,如果自然数n足够大，那么1/n可以要多小有多小，这一点常识，构造了一个不等式方程。
平方是因为我们还没有定义根号2这种数，所以我们不知道这种数满足哪些运算律。但是，平方之后，根号2就转化为了整数2，有理数集的不等式运算律我们是清楚的。
至于画红线的那一步，被称为，“放缩法”。
我们知道对自然数n>1，n^2>n，所以1/n>1/n^2，于是，我们把不等号左边的1/n^2换成了更大的数1/n。这个更严格的不等式如果成立，那么先前的不等式便一定会成立了。”
而为什么说解到，最后一步n>(2a+1)/2-a^2即可呢?这里就用到了“阿基米德公理”：
很显然，“阿基米德公理”是一个关于n的“存在性”的公理，给定任何一个有理数c，无论它有多大，都存在自然数n比这个有理数大。
结合上面那个不等式，我们由“阿基米德公理”知道了，存在这样的n使这个不等式成立。
于是对任意下组数a，我们构造了a+1/n，当n足够大的时候，这个数位于a与根号2之间。也就是“下组”中每一个数，都能在“下组”中找到比它大的数，那么下组必然没有最大值。
同理，上组中没有最小值。
注：放缩法在《数学分析》中十分常用。
“因此，分划分为三种类型。 一二又可合并为一种，它们都存在一个有最值的组。
三自成一种，上组和下组不存在最值。
所以由“排中律”，这两种情形构成了所有情况。
又因为，任意一个数确定一个分划。所以，由第三型的有理数分划，我们定义了一个新的数——这个数确定的有理数分划，上组没有最小值，下组没有最大值。这就是传说中的无理数。”
明天我们就来一个个验证有理数的每一条公理对我们这种定义下的无理数是否也成立，如果成立，那么数系就得到了扩充。
