【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep28】实数世界（四）
老碧又来了，这一周咱们给实数部分收个尾，下周正式进“极限论”！
你一定会问，有理数的几个重要性质，咱们不都验证过了吗？怎么“实数论”还没结束？
这是因为数学的基本运算除了这些在有理数以及实数范围内依然成立的加减乘除以外，还有一些在实数范围内并不总能进行的运算。
比如，偶数次根式在实数范围内不能对负数进行运算，或者，在实数范围内，我们不能对负数取对数，等等，要求的都是数系的进一步扩充，但是，在高等数学或者数学分析里面，我们研究的往往是——实欧式空间上的光滑曲线，对你没有看错，就这么特别！
那么你肯定会问，所以说还有，不实不欧式的空间上的不光滑曲线咯？没错哦，而且它们也是数学分支的重要组成部分，我们以后有机会会聊到的。
今天我们就来继续介绍，实数的根的存在及唯一性——
18根的存在——以有理数为指数的幂
书上先定义了在指数为自然数时，什么是实数的根的算术值——
如果对于正实数a，存在一个正实数u，满足u^n=a，则u为a的n次根。
注：
因为对于数的偶次根往往存在正负成对的根，比如2和-2的平方都是4，所以为了满足函数的单值性，约定求根的算术值；
这里用到了“从特殊到一般”的思想，先讨论清楚最简单的自然数次根，有理数的情况就可以自此导出。
接着便开始验证一个实数算术平均值的存在性及唯一性。
1.唯一性
因为幂的运算是相同的数字多次求积的运算，积具有单值性，所以u^n必然是唯一的。
2.存在性
存在性分了两种情形——
情形一：u为有理数——
我们知道任何有理数都有n次幂，所以这些n次幂对应的有理数就是我们所要求得的根式。
对于不是有理数的n次幂求根式我们又用到了“有理数分划”这个工具。
情形二：u不是有理数——
我们构造用a构造有理数分划——
我们取负有理数、0 、所有满足x^n<a的正有理数x为下组，取x'^n>a的正有理数为上组；
显然上下组不为空且包含正数，假如有一个自然数m满足，1/m<a<m，那么显然，1/m^n<1/m<a<m<m^n；
显然对于所有下组的数都小于上组的数，又由排中律可知，在已知a不是有理数的n次方的前提下，正有理数x^n要么大于a，要么小于a，所以上下组取遍了所有有理数，故而，构成一个有理数分划，由此产生界数u；
由有理数分划定义，我们知道，给定x0'，总存在x<u<x'<x0'，又因为x'与x可以无限靠近，所以对于任意小正数e，都存在x与x'，满足x'-x<e/nx0'^（n-1）
由3，我们知道，x^n<u^n<x'^n，由1，我们知道，x^n<a<x'^n，由4，因为x'^n-x^n=（x‘-x）[x'^（n-1）+x*x’（n-2）+……+x^（n-1）]<[e/nx0'^（n-1）]*[nx0'^（n-1）]=e，所以任意的x^n与x'^n之间只有一个数，即u^n=a。
u即为我们所求实数。
最后对有理数指数情形下的幂进行了一个简要说明，以及介绍了幂的运算的通常规则。
比如我们可以先解决1/n次幂的问题，显然即是求n次根，那么对于任意整数m，我们就可以继续解决m/n次幂，即是求n次幂的m次根，由此，有理数指数的幂得到解决。
今天就聊到这里，明天继续！
