【数学基础Ep1】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
良序公理（the well-ordering property）：每个非空的正整数集合都有一个最小元；
用加粗字母AB表示向量，用正常字母AB或者符号|AB|表示向量AB的长度；
数环：如果非空数集R中任二数的和、差、积均仍属于R，则称R是一个数环。
参考资料：
《数学分析教程》（常庚哲 史济怀）
《初等数论及其应用》（Kenneth H.Rosen）
《绕来绕去的向量法》（张景中 彭翕成）
《高等代数习题集》（杨子旭 编）
老碧最感兴趣的其实是一道题从题干到结论建立逻辑的过程，所以，会拿一些例题作为示例，把思路解析放在下面，当然，觉得没有耐心的朋友，也可以只看题。
学数学有一个比较简单但是辛苦的打基础方法，就是把例题逐字背诵。
不要小瞧这种办法，我们知道学习外语最好的状态是不假思索，脱口而出，但是你问他语法逻辑，他可能也说不清楚，数学的基础课包括题目，本质上依然是技巧思路的积累过程，如果真的背的够多，许多逻辑环节就是一个程序化的过程，你还在纠结A为啥能推到B的时候，别人觉得A到C是显然的。这种办法唯一的缺陷可能就是能学不能教，教别人的时候，别人问几个为什么，你只能回答，这不是很明显吗？但是对个体发展来说，没有坏处。
这种办法虽然好操作，能吃得了这种苦的人，依然寥寥无几，就好比，都知道背一两本小说能够把语言水平提到一个很高的水平，但是有几个人能坚持背完十页书的。Lol~
老碧也是个渣渣，之所以提到这种方法，是因为，在有限的学习经历中，确实闭书回溯内容会让知识学习的质量更高，只不过，老碧是一个ADHD晚期患者，即使知道这个办法好，也没有耐心长期坚持，因为懒散。
这就是一个有小聪明又有严格性格缺陷为什么会把一切事情都做得乏善可陈的根本原因，还是那句话，如果目标仅仅是优秀而不是杰出或者伟大，努力足矣。
而我们大多数人的追求，也不过是成为自己认为最好的人，那么，在你认为重要的事情上，无论是工作、学习、人际、情感，不断反省，不断修正，坚持不懈，就好，只要在前进着，起码就确定人生没有被荒废，那么也就可以，无愧于心，这就够了。
啰嗦了这么多，开始步入正题。
数学分析——
例题（来自《数学分析教程（常庚哲 史济怀）》）：我们主要学习这种配凑的思路——
思路——
step1：破题，就是不管三七二十一，把题面能得到的信息，全部写下来，越多越好，这个题干给出的条件是——
n不是完全平方数，则存在自然数m，m<n^（1/2）<m+1；——这个是一个需要记忆的细节，如果一个数a是实数，自然可以得到一个不等式存在自然数m，m<=a<m+1，如果a不是整数，即等价于不等式m<a<m+1；
我们要证明n^（1/2）不是有理数，即要证明n^（1/2）=p/q，对任何自然数p、q不成立，一般还会说明p、q互质；
于是只要导出1、2同时成立的矛盾，即可证明。
step2：方法选择——
由step1.3可知，需要导出矛盾，自然会选择反证法；
这道题有两种证法，这里采用无穷递降法原因在于：
a.史老师基本功特别6，有炫技成分，但是其实这本书的这道题解法还有更简洁的写法，
b.方法二用到互质的知识，是高等代数的内容，在大学第二或第三个学期才开课，而这题出现在大一第一节课，保守估计，是有同学不了解互质的知识的，所以，照顾基础知识储备的思想，选择了不超纲的证明方法， 同时开阔眼界，这是一个极度优秀的教育工作者才能考虑到的事情。
step3：逻辑推演，起点就是step1里的那两个式子，同时我们可以总结无穷递降法的适用范围——
反证法，假设存在自然数p，q，n^（1/2）=p/q，即n=p^2/q^2，移项得，p^2=nq^2；
由step1.1与step1.2可知，m<p/q<m+1，移项得，0<p-mq<q；
下面建立1和2的联系，即，我们要在1式中构造出p-mq的结构，同时要能得到p-mq和q的关系，1等式中q都在右边，自然想到把p-mq乘到左边，自然得到p（p-mq）=p^2-mpq=nq^2-mpq=q（nq-mp），即p/q=（nq-mp）/（p-mq）；
由2,3，p-mq<q，则立刻推出nq-mp<p，令q1=p-mq，p1=nq-mp，得到新的p1/q1；
上述操作理论上可以无限循环，那么就会得到两列递减的自然数列{pn}和{qn}，注意这两个数集是没有最小数的，与良序公理矛盾，故而得证。
习题：设自然数n不是完全立方数，那么n^（1/3）就不是有理数。
思路——
假设存在互质的自然数p，q，n^（1/3）=p/q，即n=p^3/q^3，移项得，p^3=nq^3；
我们要得到一个q和待定式（*）的不等关系，满足（*）<q，p/q=A/（*）=nq^2/p^2；
由2，我们可以推知，存在自然数m，m<p^2/q<m+1，移项得0<p^2-mq<q；
由1,3，p（p^2-mq）=p^3-mpq=nq^3-mpq=q（nq^2-mp）,即p/q=（nq^2-mp）/（p^2-mq）；
余下由无穷递降法得证。
解析几何——
例题（来自《绕来绕去的向量法（张景中 彭翕成）》）——已AD是三角形ABC的中线，求证：AD<（AB+AC）/2。
思路：这道题比较有意思的是几何直观——
向量法：AD=（AB+AC）/2；
由1，|AD|=|（AB+AC）/2|<=（AB+AC）/2，等号当且仅当A、B、C三点共线成立，故而AD<（AB+AC）/2。
几何直观：就是以AB，AC为邻边的平行四边形，两邻边长度之和大于对角线长度。
高等代数——
例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——若数环R不是{0}，则R必为一个无限数集。
思路——
复述定义：如果非空数集R中任二数的和、差、积均仍属于R，则称R是一个数环；
由定义和题面可知，R包含非0元素a；
则2a=a+a，3a=2a+a，……一切形如na的数都属于R，n是自然数；
（这一步很重要！）如果m与n是不同的自然数，那么ma与na必然不相等，否则，若ma=na，a不为0，推得m=n，与m，n是不同自然数矛盾，所以R为无限数集。
今天先简单到这里。
