公切线问题的转化路径（2019课标Ⅱ导数）

2022-10-19 11:17 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2019课标Ⅱ，20）已知函数 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cln%20%20x-%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$ .

（1）讨论 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的单调性，并证明 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 有且仅有两个零点；

（2）设 $x_0$ 是 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的一个零点，证明曲线 $y%3D%5Cln%20%20x$ 在点 $A%5Cleft(%20x_0%2C%5Cln%20%20x_0%20%5Cright)%20$ 处的切线也是曲线 $y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex$ 的切线.

解：（1） $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的定义域为

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20%5Ccup%20%5Cleft(%201%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%7D%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B1%5Ccdot%20%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20-%5Cleft(%20x%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%201%7D%7B%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cleft(%20x-1%20%5Cright)%20%5E2%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

故 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 在 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20%7D$ 和 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%201%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ 分别 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ，

又因为

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%20%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7B3-%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2-1%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%7D%20%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D-1%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ ；

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Cright)%7D%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1-%5Cmathrm%7Be%7D%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3C0%7D$ ，

$%5Ccolor%7Bred%7D%7Bf%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%20%5Cright)%20%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2-3%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2-1%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%3E0%7D$ ，

所以 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 仅在 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%7D%20%5Cright)%20$ 、 $%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5E2%20%5Cright)%20$ 各存在一个零点，即 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 有且仅有两个零点.

（横屏观看）

（2）因为 $x_0$ 是 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的零点,

所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%20%5Cln%20%20x_0%3D%5Cfrac%7Bx_0%2B1%7D%7Bx_0-1%7D%7D$

$%5Cleft(%20%5Cln%20%20x%20%5Cright)%20'%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D$ ，所以

$y%3D%5Cln%20%20x$ 在 $%5Cleft(%20x_0%2C%5Cln%20%20x_0%20%5Cright)%20$ 处的切线斜率为 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D$

故该点处的切线方程为

$y-%5Cln%20%20x_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Cleft(%20x-x_0%20%5Cright)%20$ ，

整理得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7By%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Ccdot%20x%2B%5Cln%20%20x_0-1%7D$ .

记该直线为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bl_1%7D$ .

设曲线 $y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex$ 与 $l_1$ 斜率相等的切线为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bl_2%7D$ ，

设 $l_2$ 与曲线 $y%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex$ 相切于 $%5Cleft(%20x_1%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D%20%5Cright)%20$ ，

因为 $%5Cleft(%20%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cright)'%3D%5Cmathrm%7Be%7D%5Ex$ ，

故该点处的切线斜率为 $%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D$ ，

因为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%7D$ ，所以 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx_1%3D-%5Cln%20x_0%7D$ .

所以 $%5Cleft(%20x_1%2C%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7Bx_1%7D%20%5Cright)%20$ 即为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(-%5Cln%20x_0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Cright)%20%7D$ .

因为

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09y%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B-%5Cln%20x_0%7D%20%5Cright)%20%2B%5Cln%20x_0-1%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20-%5Cfrac%7Bx_0%2B1%7D%7Bx_0-1%7D%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7Bx_0%2B1%7D%7Bx_0-1%7D-1%5C%5C%0A%09%26%3D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_0%7D%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$