WIFI标准中的 Beamforming matrix的压缩回传原理

WIFI 协议中的 beamforming，需要回传 beamforming matrix，实际上就是回传信道系数矩阵 SVD 分解后的 V，当然，传的是 V 中 一部分而不是全部，后面我们再做详细解释。
这个回传，有一种 compressed (压缩) 的方式，就是对 回传的向量做压缩，减少回传的数据量。
（录制的视频：https://www.bilibili.com/video/BV1xP411777k/）

WIFI 协议中的公式看起来很复杂，下面这个公式，是回传后，接收方重建 beamforming matrix 的公式：

这个公式看起来很复杂，我们今天来分解一下看看。

我们以 beamforming matrix 是一个 4x2 的矩阵为例：

我们知道， SVD 分解后得到的 V 矩阵，其列向量是相互正交的，且都是单位向量，即其模长为 1.

上面的 V 可以理解为是 三维空间中的两个正交向量，但是，不在坐标轴上。我们可以通过旋转，让其与两个坐标轴重合。V 矩阵一般是一个复数矩阵，我们要使用的旋转的方法，是基于实数矩阵的，所以，要先把 V 矩阵变成实数矩阵，然后再旋转。



1) 对每一列做一个相位调整，使得每一列的最后一个元素是实数。这个调整的相位，不用回传，因为相当于在发射方，对每个发射天线做统一的相位调整，不影响正确接收。
2) 对第一列的前三行的元素，计算出其相位（记为 ) 然后，对两列的前三行，分别做对应相位的调整，结果是第一列的前三个元素也变成实数了.  这个计算的过程，相当于乘以了如下的矩阵的共轭版本,  这个矩阵就是公式中的    
   

3) 计算旋转的角度(记为 )，把第一列第二行的元素变成 0
   乘以这个矩阵，下面这个矩阵就是公式中的    

4) 计算旋转的角度(记为 )，把第一列第三行的元素变成 0
   乘以这个矩阵，下面这个矩阵就是公式中的    


5) 计算旋转的角度(记为 )，把第一列第四行的元素变成 0
   乘以这个矩阵，下面这个矩阵就是公式中的    
   

6) 至此，第一列中，只有第一行的元素不为 0 ，应该是 1；第二列中的第一行的元素应该是 0 （因为正交的原因，在那个坐标轴的上的投影为 0 ). 第二列的第四行还是实数，但是，第二行和第三行的元素，还不能确保一定是实数。
7) 对第二列的第二行和第三行计算对应的相位(记为 ，然后对两列的第二行和第三行做相位调整，因为第一列的第二行和第三行都是 0， 因此，调整后，第二列的第二行和第三行也是 实数。
   这个计算的过程，相当于乘以了如下的矩阵的共轭版本,  这个矩阵就是公式中的    
   

8) 计算旋转的角度(记为 )，把第二列第三行的元素变成 0
   乘以这个矩阵，下面这个矩阵就是公式中的    

9) 计算旋转的角度(记为 )，把第二列第四行的元素变成 0
   乘以这个矩阵，下面这个矩阵就是公式中的 

10) 至此，第二列的第三行和第四行也是 0， 且第二行元素不为 0，应该是 1.

最后，接收方可以根据这   和  相位，重建 beamforming matrix  V:

其中 T 表示转置，其实就是相位的反方向旋转，例如：

一个向量左乘这个矩阵，就相当于对这个向量顺时针旋转  角度。
如果要顺时针旋转  角度，也就是逆时针旋转 角度，把这个代入上面的矩阵中：


则逆时针旋转$ \psi_{41}$ 角度，就是对向量左乘 $G_{41}^T$.

**附录**：

旋转角度的计算：

将  这个坐标轴的坐标变成 0 ，也就是把这个向量旋转到垂直于 “不包括这个   坐标轴的超平面 ”