微分与导数之一，切线

2021-06-15 14:57 作者:马同学图解数学 0人读过 | 我要投稿

以直代曲是微积分的基本思想

用来代替曲线的直线就是切线，这就是本课要讨论的问题

1 困难

对于一条曲线

我们感兴趣的，可能有它的长度

它的面积，等等

但很显然，因为是曲线，所以这些并不好求解。

我们需要想办法把它用直线表示。

2 分析

假设有曲线 $f(x)$ 和直线 $g(x)$ ，如果两者完全相等，那么有：

$f(x)%3Dg(x)$

不过这显然很难办到。

但可以做到在某一点相等

下面，我们稍微进一步。以 $x_0$ 为中心，取一小段

在这一段上 $f(x)$ ,与 $g(x)$ 相差很小

并且，随着 $%5CDelta%20x$ 的减小，直线不断逼近曲线

将此推广到整条曲线。首先将，曲线分成若干份

每份都用一条线段代替

并且随着划分的越来越细，这些直线越来越接近之前的曲线

这种，用直线代替曲线的方法，称为以直代曲。

下面，将前面的分析，落到代数上

3 建模

3.1 条件一

前面说过，在一小段区间上，直线与曲线相差较小

$f(x)%5Capprox%20g(x)%5Cquad%20x%5Cin(x_0-%5CDelta%20x%2Cx_0%2B%5CDelta%20x)$

加上高阶无穷小 $o(%5CDelta%20x)$ ,就可以把约等于变成等于

$f(x)%3D%20g(x)%2Bo(%5CDelta%20x)%5Cquad%20x%5Cin(x_0-%5CDelta%20x%2Cx_0%2B%5CDelta%20x)$

3.2 条件二

其次，曲线 $f(x)$ 与直线 $g(x)$ 在点处相等。 $x_0$

如果，此时再知道直线的斜率 $k$

那么就能得到直线的表达式

$g(x)%3Dk(x-x_0)%2Bf(x_0)$

下面，我们就来求解斜率

4 斜率

经过上面的分析我们有了：

$%0A%5Cleft.%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20g(x)%3Df(x_0)%2Bk(x-x_0)%5C%5C%0A%20%20%20%20f(x)-g(x)%3Do(%5CDelta%20x)%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright%5C%7D%5Cimplies%20f(x)-f(x_0)-k(x-x_0)%3Do(%5CDelta%20x)%0A$

将 $x-x_0$ 用 $%5CDelta%20x$ 代替

$f(x)-f(x_0)-k%5Ccolor%7Borange%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3Do(%5CDelta%20x)$

等式两边同除 $%5CDelta%20x$

$%20%5Cfrac%7Bf(x)-f(x_0)-k%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7Bo(%5CDelta%20x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D$

两侧取极限：

$%0A%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bf(x)-f(x_0)-k%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bo(%5CDelta%20x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%0A$