关于当下“单抽+十连”氪金抽卡机制以及玩家对应决策的一个粗略的理论分析
前排提醒：在正式开始之前，这里先说清楚，对于氪金玩家的读者们而言，这篇专栏不会告诉你们如何理性氪金，也无法给到任何实际性的建议，甚至可能会出现一定的副作用。
前言
很多人，包括很多大佬，在开始氪金抽卡之前，总是会先规划自己抽卡氪金的总金额（也就是“零花钱”），再分析某个游戏卡池的各种要素（角色强度、出货概率等）来判断是否值得氪金抽卡。事实上，几乎所有人在氪金抽卡之前都会经过这两个步骤。这两个步骤不一定谁在前谁在后，也不一定是一前一后，也可能是同时开始考虑的。尤其是关于对卡池的概率分析，有些大佬的分析已经开始精确到计算出了任何可行氪金数额下的概率分布，甚至开始用电脑来精确模拟抽卡。
但这种提前的决策规划有用吗？不一定。对于克制力较强的人，也就是对提前规划执行力强的人，这种规划或许有用；但对于克制力较弱的人，这种规划很容易沦为一纸空谈。
而一般在我们的印象中除了克制力强的，就是抽“上头”的，似乎没有一个中间的状态。尤其是对于抽上头而懊悔的玩家来说，似乎只要自己当时足够理智、冷静，如今就不会这般懊悔。但正如上面提到的，“克制力强”实际上是一个比较高的要求，拿这个标准去要求所有人恐怕是不太合适的。
于是，我们在这里，将借用经济学中“理性人”的相关假设，来构造一个“理智、冷静”的人。这个人的自制力不要求多高，但无论抽多少次卡，其偏好都不会发生改变（即不会上头）。现在，来看一下，这样的一个人的氪金抽卡结果会是怎样的。
为了简单起见，以下抽卡的目标仅为抽到一张稀有卡就好，稀有卡不存在细分种类（比如R\SR\SSR\UR等）。
关键概念介绍
这里只要是介绍“一次性无限制连抽”机制与“无限制‘单抽+十连’”机制这两种氪金抽卡的区别。
一次性无限制连抽：一次可同时多连抽，连抽数不限制，但只能抽一次。
这也是一般人在抽卡前进行分析时，所默认、假想出来的抽卡机制。换句话说，只有在这种机制下，抽卡前的各种分析才真正有用武之地。
无限制“单抽+十连”：一次可单抽可同时十连抽（也可其他形式的多连），抽卡次数不加任何限制，也就是所谓的“无限制”。
这里要好好解释一下下面这种机制的情况与上面那种机制情况的不同。
此时的问题在于，抽卡过程不再是一次性决策，而是连续多次决策。
这个问题只有在购买这种带有不确定性的商品时才会显现出来。如果“抽中”为必然事件，抽卡概率为，玩家购买一次就一定有一件商品，购买五次就一定有五件商品，不管是一次性买还是连续多次买，最后一次抽卡时获得的边际效用，都是商品数为五时的边际效用。但种带有不确定性的商品不同。假设抽中一张某种稀有卡的期望抽卡次数为五，抽一次一百。在一起抽的情况下，最后一次（也是第一次）抽卡时获得的边际效用，是商品数为五时的边际效用；而在连续多次抽，且前四次都没抽到的情况下，那最后一次抽卡时获得的边际效用，是商品数为一时的边际效用。而且在连续多次抽时，最后一次抽卡时获得的边际效用也是随机的。
换句话说，在这种情况下，玩家顶多只能在事前预先对第一次抽卡进行规划，第一次之后的抽卡情况是完全随机的，是完全不受玩家控制的。比如第二次抽卡，完全取决于第一次抽卡这一随机结果。
换句话说，在不考虑玩家自制力的情况下，玩家的氪金抽卡连抽次数，是一个不受玩家自身控制的随机结果。
如果读者有接触过一点博弈论，此时可能会觉得这没什么大不了的，顶多不过是个混合策略的问题。
但情况不止于此。
如果读者有微观经济学基础的话，应该听说过一个词叫做“沉没成本”，及其背后的经济学含义。通俗地来解释的话，就是现在的决策，不应该受到过去决策时发生的成本，即“沉没成本”的影响。换句话说，即使玩家在之前的抽卡中花掉了相当大的一笔钱（超过了玩家的预期），下一次要不要抽卡，也只应该看玩家此时的余额情况够不够你再抽一次，以及玩家愿不愿意再抽一次。
举个简单的例子。假设玩家有十万元，抽卡已经抽了六万（玩家原本预期只抽个三万），抽一个十连一百元。如果玩家考虑到了之后的日常生活消费，仍觉得自己愿意再抽一次，那这一次的抽卡行为可以看作是“理智、冷静”的。
也就是说，玩家的自制本身，是一种并不“理智、冷静”的表现。
下面开始正式分析。
（由于B站专栏不能使用公式编辑器的内容，理论构建及分析部分以及后面出现的公式及字母都是重新打的，如有错漏还望见谅）
理论构建及分析（非经济学专业可选择性跳过）
为方便起见，未特别说明时，一般默认假设抽卡连抽次数在理论上可以取到不小于1的任何正实数。如果最终结果不是整数，则从离它最近的两个整数中挑选最优解即可（下面提到的偏好凸性假设会保证这种做法的合理性）。
以下相关术语及部分未直接证明的命题，如未作特别说明，其相关的说明及证明均来自MWG。如对其有所疑问，请自行翻阅MWG。
偏好假设
偏好理性。即偏好同时满足完备性、传递性。这样的话偏好可以使用效用函数来表示，同时其生成的选择结构满足显示偏好弱公理（虽然后面这条在这里不一定用得上）。
偏好连续。这样的话效用函数也是连续的，同时这意味着“抽卡连抽次数可以取到正实数”这个假设是必要乃至不可或缺的。
偏好单调。也就是说，对于任何商品，多多益善，不会觉得哪种商品多拿无用。
偏好凸性。这意味着效用函数是拟凹函数（就算换成了这个说法似乎也没什么大用），以及商品的边际替代率递减。
预算假设
p0x+p1n=m
其中m为总金额（就是你身上所有的钱）；p1为一次单抽（或十连，差别不大）的价格；x代表你氪金抽卡以外消费的所有商品（参见范里安《微观经济学：现代观点》中的“复合商品”概念），它的减少意味着，你除去氪金抽卡活动外整体生活水平的下降；p0就是这个复合商品对应的“复合价格”，可以看作氪金抽卡以外所有商品的整体物价水平。
效用函数
u=u(x,n;p)
其中p是抽卡的概率分布，可以看作是可能取决于的一系列常数或某种参数，毕竟这是游戏制作方才能决定的。
商品假设
任何商品都是正常品。
结合之前的假设以及斯勒茨基分解，很容易得到：哪种商品都不是吉芬品（参见范里安《微观经济学：现代观点》中的“需求法则”）。
(这条假设看似没什么用，但实际上它是试图用来确定某个解的存在性与唯一性的)
决策过程
于是，氪金抽卡的决策问题就转换成如下所示：
max u=u(x,n)
s.t. p0x+p1n=m
接下来我们来看，在不同的抽卡机制下，达到最优解的情况。
一次性无限制连抽
此时的问题只是一个寻常的多元函数条件极值问题，易得：
（边际替代率绝对值等于价格比，自己写公式）
p0x+p1n=m
通过解这个二元方程组，即可得到此时的最优氪金抽卡连抽次数解。根据现实情况，一旦准备抽卡，一般认为n不小于1。
无限制“单抽+十连”
通过给出的抽卡概率分布p，即可得到此时的最优氪金抽卡连抽次数解n这个随机变量的概率分布。
现在我们来看的上下限。
下限很明显。根据现实情况，一旦准备抽卡，一般认为n不小于1。
关键是上限。
假设玩家没有一次会抽中（后面有几个结论都是以此为前提的）。
此时，停手的临界条件为：
（n为1时的边际替代率绝对值等于价格比，自己写公式）
p0x+p1n=m
此时假设玩家在临界条件下会把最后这一发也抽掉。
通过解这个二元方程组，即可得到此时的氪金抽卡连抽次数的上限，以及此时的消费量x。
值得注意的是，x仅由方程组中的第一个方程单独决定。也就是说，当收入达到一定水平时，随着收入的增加，x不会随之增加，甚至可能不会发生任何大的变化。记此时消费水平的最小值为x0，它可以视为某种“生活水平底线”。显然x0至少不低于价格比，也就是说，当剩下的钱连再多抽一发都不够时，剩下的这些钱一定会全部用来消费。
举例说明理论分析结论
上面的说法可能比较抽象，现在这里举一个更具体的例子来加以说明，但请至少把上面部分中“决策过程”之前的内容都过一遍。
假设玩家的预算是50x+100n=10000，n是单抽次数，x代表玩家生活中其他商品的消费水平。也就是说，玩家总共一万元，单抽价格为一百元，其他商品的物价整体水平为五十元。显然，n最大为100。
假设玩家的效用函数为u=4ln(x)+ln(np+1)，其中为p单抽抽中的概率。这个效用函数，除了上面理论分析时要求的几点性质外（包括完全的“理智、冷静”），还有些更符合氪金抽卡这一情况的性质。比如：不能把钱全拿来氪金（其他商品的消费水平不能为零）、不氪金也无所谓（氪金抽卡次数可以取到零）。
假设单抽抽中的概率为十分之一。
现在的问题是，要在预算的条件约束下，让自身效用能够尽可能达到最大值。
如果此时采用的是“一次性无限制连抽”，根据高数中多元函数条件极值问题的解法，可以很快得到：n=12。也就是说，此时玩家会一次性连抽十二次。这时的机制还体现出了玩家这一效用函数的另一个比较符合现实规划的性质，氪金预算总额在总预算中占比相对稳定（无论总预算多少，氪金预算永远占比约五分之一还少一点）。此时，除抽卡氪金以外的一般生活消费在总消费预算中占比为88%。
如果此时采用的是“无限制‘单抽+十连’”，首先，玩家的抽卡次数将会是一个随机变量。完全准确地预测出固定的数值。这也正是这个机制的第一个可怕之处：玩家的抽卡行为完全不受玩家自身控制。
现在我们来看，如果玩家的运气非常差（但本人不知道），那玩家最终会抽多少次才肯罢休。
根据上面理论分析时提到的算法，可以得到：此时玩家的“生活水平底线”x0=6.5（注意，不是x，具体说明参见前面的理论分析），n=[97.25]=97，除抽卡氪金以外的一般生活消费在总消费预算中占比仅为3%。
这就是这个机制的第二个可怕之处：一定条件下，如果玩家运气差，抽卡失败的下场会非常之惨。当然，这里的前提是一定条件下。如果条件足够，此时这种机制下，除抽卡氪金以外的一般生活消费在总消费预算中占比，说不定还能达到为90%呢。
现在我们来考虑“涨钱”的情况。假如玩家的总预算额从一万元涨到了十万元，情况又会发生什么样的变化呢？
如果此时采用的是“一次性无限制连抽”，很容易得到：n=192，且此时，除抽卡氪金以外的一般生活消费在总消费预算中占比为80.8%。
如果此时采用的是“无限制‘单抽+十连’”，首先，玩家的抽卡次数依然将会是一个随机变量。而且，如果玩家的运气还非常差（但本人不知道），同样可以得到：此时玩家的“生活水平底线”x0=6.5，n=997，除抽卡氪金以外的一般生活消费在总消费预算中占比仅为0.3%。
事实上，如果同时还计算了玩家运气最好的情况，就会发现，随着收入的增加，这个随机变量的上下限之差将会进一步拉大。当然，这里想要强调的是另一点，也是这个机制的第三个可怕之处：如果玩家运气差，即使自己收入增加，抽卡失败的下场会也不会得到任何改善，甚至可能只会越来越惨。
从另一方面来看，在此时的假设条件下，这还正好衬托出了“一次性无限制连抽”机制的一个相对的“优势”：即使运气太差，玩家的生活境遇也不会差到哪里去。正如上面提到的，无论总预算多少，氪金预算永远占比约五分之一还少一点。也就是说，在这个例子里，氪金预算占比永远小于五分之一。这可是一个能非常令人安心的一个结论。
现实情况探讨
实际的抽卡情况当然不会这么耸人听闻。且不说机制本身造成的随机性掩盖了玩家们的可能的最差情况，游戏方面，有保底机制、游戏特色；玩家方面，有自制力、特殊偏好。这些以及种种一时难以列举出来的因素，都在一定程度上限制着玩家的抽卡次数。
需要单独说明的一点是“单抽+十连”这种抽卡方式本身。它确实是方便了玩家大量氪金，避免了玩家对于因大量氪金导致的大量重复抽卡动作而产生的厌烦。但从另一方面来看，它也使得前面的理论假设进一步符合现实情况，因为大量的单抽动作明显会影响单抽时的边际效用。这也是前面一直强调“单抽+十连”这个词的原因。
但即使现实中有如此多的因素在限制玩家的抽卡氪金量，只要无限制“单抽+十连”这个基本机制没有变，上面的基本结论就不会变。即使“生活水平底线”或许会被不断抬高，玩家也会把新增工资更多地用于其他的生活消费，但只要依然是这样的一个抽卡机制，它所带来的问题本身也依然会继续存在着，只是这个问题所带来后果的严重程度可能会有所减轻。
而且，比起已经开始参与工作的成年人，还未步入社会体会到赚钱辛劳的未成年人似乎更容易符合上面模型的情况。他们或许也曾试图像上面那样规划自己的氪金额度，但实际抽卡中较弱的自制力以及抽卡次数的随机性，很可能会导致实际氪金情况不一定符合自身预期。而且他们所有的钱也都只是长辈们给的“零花钱”，“生活水平底线”自然要比一般的成年人低很多，运气差时，如果还抽上头的话，很可能会把“零花钱”全花光。而这对于一个家庭来说，由于不像“一次性无限制连抽”机制那样存在“兜底”，只是徒增了一笔毫无用处的开销。这样的开销只有等到成年工作之后才会有所减少，且不会彻底消失。
建议
在这篇文章的最开头就说过，这篇文章无法给到氪金玩家们任何实际性的建议。因此，这里的建议只是针对可以改变现状的人们来说的（当然不包括我就是了）。很大程度上，这就是在异想天开了。但既然分析到这里了，还是不得不再说两句的。
可以的话，希望不要再继续采用无限制“单抽+十连”这种氪金抽卡机制了。连抽次数可以不限制，但氪金抽卡次数希望能够得到限制，最好一次卡池限制只能氪金抽卡一次，但可以同时多连抽。
只有这样，玩家们抽卡前的理性分析才能真正切实地派上用场，玩家运气太差导致的严重后果才能从根本上得到最大的缓解（完全解决掉恐怕是不可能的，毕竟是抽卡）。
当然，这种做法推行的阻力必然是非常大的。即使个别游戏更换了机制，由于新的机制在利润获取方面的能力必然不如原来的机制，这些个别游戏的厂商迟早又会换回去。这就像微观经济学中提到的“市场失灵”，单靠极个别的国内乃至国际市场的参与者，恐怕也改变不了什么。而且，这种机制的改革，实际上到底能产生多大效益呢？这或许也不容乐观。
所以，这段所谓的建议，也只不过算是在纸上谈兵，聊胜于无了。
匆匆而就，难免错漏，还望见谅。
就先这样吧，还要还债呢
