【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第十五章振动和波

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳。另外这套老教材中的力的单位常用公斤，如今是不允许的，力是不能使用公斤为单位的】 

§15-4单摆的振动

【01】把一个小球拴在一根不会伸长的细线的下端，如果线的质量与小球的质量比较起来小得可以略去不计，而小球的直径与细线的长度比较起来也显得很小，那么，这样的装置就是一个单摆具中（图15·6）。

【02】使摆从平衡位置 A 偏开一些，例如移到图中的位置 B，然后再放手，小球就会在竖直面内沿弧线 BAC 来回摆动。从 B 经过 A 到 C，再从 C 经过 A 到 B，就完成了一次全振动。

【03】现在我们来分析一下使小球振动的力，以及力与位移的关系。

【04】当小球静止在平衡位置的时候，作用在摆球上的重力 P 与线的拉力 Q 平衡。当摆球偏开到位置 B 时，重力 P 和线的拉力 Q 不在同一直线上，它们不再平衡。把 P 分解为两个分力来考虑：一个分力 F' 与线的拉力在同一直线上，它不能使摆球向平衡位置运动；另一个分力 F 与摆线垂直，并且总是指向平衡位置这一边，正是它使摆球来回振动。分力 F 的大小等于，α是摆线的偏角，由此可见 F 的大小是随着摆线偏角的增加而增加的。

【05】如果摆线的偏角不很大，例如在5度以内，则一方面 sinα 可以用 α 来代表，即 sinα ≈ α，α用弧度表示【α＝1°时，sin1°＝0.0174524，而1°＝0.0174533弧度；α＝5°时，sin5°＝0.0871557，而5°＝0.0872665弧度。】；另一方面，弧长 AB 和弦长 AB（用x代表）也相差很小，因此角 α 又等于，式中 l 是摆线的长，x 是弦 AB 的长，也就是摆球离开平衡位置的位移。

【06】这样，使摆球来回振动的力 F 就变为  。

【07】如果考虑到力 F 的方向总是与位移如的方向相反，而要在公式中表示出来，则上式又应改写成   。

【08】由于 P 和 l 都是不变的量，因此上式还可以写成 ，其中  。

【09】根据牛顿第二运动定律，摆球运动的加速度 a 为，K/m 也是一个不变的量。由此可见，在偏角很小的时候，单摆是在与位移成正比、并且总是指向平衡位置的力 F 的作用下振动的；它的加速度总是与位移的大小成正比，方向相反。

【10】根据简谐振动的定义，可见在偏角很小的时候，单摆的振动是简谐振动。

习题15-4

1、说明单摆振动（图15·6）的特点，并填写下表：【与习题15-1第4题同样分析】

2、在位置 B 和 C 时，摆的加速度的方向是怎样的？摆在什么位置时速度最大？什么位置时最小？加速度在什么位置时最大？什么位置时最小？【摆在 B 时，加速度方向向左，在 C 时向右；摆在 A 时速度最大，B 和 C 时最小；摆在 B 和 C 时加速度最大，A 时最小】

3、根据上述四个阶段，分析各阶段中摆的动能和势能的转换情形。在什么位置时动能最大，什么位置时最小？在什么位置时势能最大，什么位置时最小？【与习题15-1第3题同样分析】

4、一个质量为100克的单摆，在偏角等于5°时，使它回到平衡位置的作用力是多少？这时沿振动方向的加速度是多少？【约8500达因，85厘米/秒²】