前言

        这个分析在今年4月就已经分析完了，一直以纸质形式陪伴到现在，现在纸都烂了。现在想想，纸迟早都会丢的，人又是健忘的，还是总结成电子稿，写入HDD，顺手发个专栏更加实在。

        我分析这时，一堆人说分析这玩意没用，我只能说，你觉得没用不代表别人觉得没用，现在用不着不代表以后用不着。

正文

        此电路是我从一本书看到的（某营销号那也见过），不是我设计的，我敢说设计这个的简直是天才。

        PID是：Proportional（比例）、Integral（积分）、Differential（微分）的缩写。IPDPI是我给它起的名字，表明这个以集成运放实现的电路已经集比例（P）、积分（I）、微分（D）于一体。

        一开始我是想直接分析的，然而这玩意太难算，然后放弃了（不排除以后我又会再算一遍）。然后改变策略，分块计算。

简化

        把两端一大片电容电阻，合并成阻抗Z1和Z2，这时候，只要推导出Z1的传递函数，Z2的传递函数，以及运放与Z1、Z2组合的传递函数，电路即可分析完成。

        经过简单计算，可得输出电压与输入电压关系（默认电路元件为理想，下文同）。A代表输出振幅，为Z1和Z2的模之比；θ代表输出相位，为Z1相角减去Z2相角加上π（因为运放接成反比例形式，自带180°反相）。

RC串并C

        现在单独分析Z1部分，是一个RC串联再并联一个C，目的是求出这个电路的阻抗Z。Z求出后，就可代入公式2.1计算。

        注意，由于电容的容抗与信号频率有关系，所以Z将是一个函数，以频率ω为自变量。

        我致力于把公式转化成振幅和相角的表达方式（手算的，工作量巨大），特别是振幅我对其进行了开对数处理。因为对数化后，在对数坐标系中可以更加直观看出其特性。

        下图为该公式的函数图“lg(|Z|)”（紫色）和“θ”（蓝色）。横坐标为ω的以10位底对数，单位：lg(rad/s)；对于紫色，纵坐标为阻抗Z的模长的以10为底对数，单位：lg(Ω)。对于蓝色，纵坐标为阻抗Z的幅角，单位：rad（弧度制）。

        其中，近似表达式是简化分析的重要手段。在波特图中，除了转折频率处略有误差，其它地方基本可以用直线拟合。公式3.3、3.4将是对振幅lg(|Z|)的近似表达，借助公式3.3、3.4即可快速作出波特图并设计电路。

        当C1远大于C2时（C1>>C2），公式可以进一步近似：

        下图为近似表达式的函数图“lg(|Z|)”（红色）和“θ”（蓝色）。横纵坐标代表同上。可见红色和紫色几乎重叠，除了转折频率处略有误差。图中用俩竖虚线标注转折频率，一横虚线代表-π/4。

总结：

        RC串并C，随着频率升高依次体现[容]→[阻]→[容]特性。等效阻抗为[俩C并]→[R略削]→[小C]，转折频率为[R与大C时间常数]→[R与俩C串时间常数]；相位[-90°]→[0°]→[-90°]。前提是与R串的C要大于最好远大于外并的C（C1＞C2）。

RC串并R

        现在分析Z2部分，是一个RC串联再并联一个R，目的是求出这个电路的阻抗Z。Z求出后，就可代入公式2.1计算。

        由于电容的容抗与信号频率有关系，所以Z将是一个函数，以频率ω为自变量。

        为了计算时的方便，我把电阻R换成了电导G。转换关系是G=1/R（倒数）。

        下图为该公式的函数图“lg(|Z|)”（紫色）和“θ”（蓝色）。横坐标为ω的以10位底对数，单位：lg(rad/s)；对于紫色，纵坐标为阻抗Z的模长的以10为底对数，单位：lg(Ω)。对于蓝色，纵坐标为阻抗Z的幅角，单位：rad（弧度制）。

        同理使用近似表达式简化公式。公式4.3、4.4将是对振幅lg(|Z|)的近似表达，借助公式4.3、4.4即可快速作出波特图并设计电路。

        当G3远大于G2时（G3>>G2或者说R3<<R2），公式可以进一步近似：

        下图为近似表达式的函数图“lg(|Z|)”（红色）和“θ”（蓝色）。横纵坐标代表同上。可见红色和紫色几乎重叠，除了转折频率处略有误差。图中用俩竖虚线标注转折频率，一横虚线代表-π/4。

总结：

        RC串并R，随着频率升高依次体现[阻]→[容]→[阻]特性。等效阻抗为[大R]→[C略削]→[俩R并]，转折频率为[C与俩R串时间常数]→[C与小R串时间常数]；相位[0°]→[-90°]→[0°]。前提是与C串的R要小于最好远小于外并的R（R3＜R2）。

比例、积分、微分

        回到最初的图：

        随着Z1和Z2体现的阻抗不同，电路将实现不同的功能：

1.（反）比例器

        当Z1和Z2均体现阻性或者容性时，与运放组合形成比例器（P），比例为|Z1|/|Z2|，相移180°。

2.积分器

        当Z1体现容性，Z2体现阻性时，与运放组合形成积分器（I），积分系数为|Z1|/|Z2|，与信号频率有关，相移90°。

3.微分器

        当Z1体现阻性，Z2体现容性时，与运放组合形成微分器（D），微分系数为|Z1|/|Z2|，与信号频率有关，相移270°（-90°）。

设计指导

        如果把前文内容掌握了，那设计IPDPI器就很容易了。Z1有两个转折频率，通过调节转折频率控制Z1依次体现容阻容性；Z2也有两个转折频率，通过调节转折频率控制Z2依次体现阻容阻性。按照Z1和Z2的组合，产生阻阻——比例；容阻——积分；阻容——微分即可。不推荐使用容容——比例，因为电容制造误差比电阻大。

    两数除法，若两数经过对数化后，即变成减法。使用近似表达式中的lg(|Z1|)、lg(|Z2|)（绿色、红色），作减法得lg(|Z1|)-lg(|Z2|)（蓝色），只要乘上系数20，即形成电路响应波特图，纵坐标单位为dB。下图仅为演示作用，参数请按照实际需求设计。

        相移的话，还是电脑作图吧：

        如果并不想实现IPDPI这么多功能，仅仅想实现一两个功能，可以删除一些电容和电阻。计算时，可以采用极限近似替代。如：

1.短路：令R→0Ω（G→∞S），令C→∞F。

2.开路：令R→∞Ω（G→0S），令C→0F。

        这样可以让Z只体现[容]→[阻]性（RC串），或者[阻]→[容]性（RC并），或者只会体现阻性或者容性。通过组合可以产生。

茶谈经验

        积分器特性是：对高频噪声有很好的抑制作用，而对静差会一直累积到饱和。因为集成运放往往非理想，有失调电压和失调电流，这些往往是常数或者是变化很缓慢，可以看成直流信号或极低频信号。于是集成运放直接组成积分器会有个缺点：即使没有输入，输出也会逐渐偏移并达到饱和。

        微分器特性是：对高频噪声非常的敏感，而对静差基本不响应。因为微分器很容易受到干扰，实际上用的较少。

        其实，微分器和积分器的优缺点恰恰是相反互补的。积分器怕静差，微分器怕噪声。为什么不能设计一个DI器呢？

        在教科书中，往往会在电容旁边并联一个电阻，实际上运放就变成了一个PI器。对于转折频率以上的信号，体现出积分器特性，对于转折频率以下体现比例器特性。而比例器对静差有放大的，只是不明显罢了。如果使用微分器，甚至可以完全不响应静差（对直流分量无响应）。

        设置合适的RC值调节转折频率，可以设置出一个DPI器，如果控制得好，P部分很窄，可以直接看成DI器。对于静差，微分器负责抑制；对于噪声，积分器负责抑制。使用时，输入信号在转折频率以上，就可以当做积分器使用；在转折频率以下，就可当做微分器使用。

后记

        完，感谢阅读，想用时翻阅就是。

        公式可能非标，部分可能写错，错了可以在评论区说明下。

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