《数学分析（一）》专题

实数

定理-定义： 存在 唯一 的 完备 全序 域，我们称之为实数域

实数的构造①②③ =>本质相同

域≈能够做四则运算的集合（即F：field）

(F,+,×,0,1,且0≠1)叫做一个域，如果它们满足以下九条性质

①x+y=y+x;

②(x+y)+z=x+(y+z);

③x+0=0+x=x;

④对于x∈F,存在唯一的一个相反数y使得x+y=y+x=0(由①②③④可以推出这样的y是唯一的，y1y2,y1=y1+0=y1+(x+y2)=(y1+x)+y2=0+y2=y2)称之为x的相反数 ，记为“-x”(可定义x-y:=x+(-y));

-------------上四条定义加法-------------

⑤xy=yx;

⑥（xy）z=x(yz);

⑦x*1=1*x=x;

⑧对于x∈F，且x≠0，存在唯一一个y使得xy=yx=1,称之为x的倒数，记为x^-1,(可定义x/y:=x*y^-1);

-------------上四条定义乘法-------------

⑨x(y+z)=xy+xz;

-------------加乘法联系（相容性）-------------

注释， 如果不说明0≠1，则集合F={0}也是满足上述九条性质的一个域（第八条是因为数学上约定空集成立）

全序 域：域（9条性质）内元素之间存在全序（比大小）关系（四条），并且序关系与域相容（两条）。

(F,+,×,0,1,≤)叫做一个全序 域，如果①-⑨成立，且以下六条性质成立：

⑽x≤x;

⑾若x≤y,且y≤x,则x=y;

⑿若x≤y,且y≤z,则x≤z;

------自反、非对称、传递构成偏序------

⒀对于任何x,y∈F,或者x≤y,或者y≤x(此性质定义了全序，也叫线性序=>排成一条线的数才能比大小，例如复数非线性就不能比大小);

----上四条定义 ≤是一个全序关系----

⒁若x≤y, 则x+z ≤ y+z; 序和加法的相容性

⒂若x≤y,且z≥0,则xz ≤ yz; 序和乘法的相容性

完备性：

⒃对于F的两个非空子集A、B，若对于任何的x∈A，y∈B，都有x≤y,则存在一个c∈F，使得对于任何x∈A，y∈B，都有x≤c≤y。

-------完备 全序 域--------