Euclidean 空间 R^n

定义 

设  F=［x1, x2 ,x3,…xm］⊂R^n。A⊂R^n，

1  若对任意实数λ1 ，λ2，…，λm，由∑λixi=0（i=1,…,m)可推出λ1=λ2=…=λm=0，则称F为线性无关的向量组。

2 F中包含的线性无关的向量组的最大个数称为F的秩。

3  若对任意实数λ1 ，λ2，…，λm，由∑λixi=0（i=1,…,m)且∑λi=0（i=1,…,m），可推出λ1 =λ2=…=0，则称F为几何无关的向量组

4 若A中任何不超过n+1个不同元素组成的有限集都是几何无关的，则称A处于一般位置。

定理

1 若F在R^n中线性（几何）无关，则其任何子集都在R^n中是线性（几何）无关。

2  F在R^n中是几何无关的当且仅当对任意的x0∈F，集合［x-x0；x∈F＼｛x0｝］ 是线性无关的。

3 R^n中线性无关集最多含n个元素；R^n中几何无关的集最多含n+1个元素；R^n中含基数为c的处于一般位置的集合。

4 设C=［c1, c2 ,…］是R^n中的可数集合，则对任意的ε>0，存在处于一般位置的集合D=［d1, d2 ,…］⊂R^n  使得对任意的k，|| ck-dk||<ε成立。

有限维线性空间上的拓扑事实上是由其线性运算确定的，而无限维线性空间上的拓扑不能由其线性运算确定。这就解释了为什么在以研究有限维空间为主的线性代数等课程中从来不提拓扑问题，而在以研究无限维线性空间为主的泛函分析等课程中拓扑非常重要的原因。

虽然R^n上的拓扑是唯一，但是，我们很容易在R^n上定义不同的范数使得其成为Banach空间；也可以在R^n上定义不同的内积使得其成为Hilbert空间。

设V是线性空间，L是其有限维子空间，则L是V的闭子集。

设L是线性空间，则L局部紧的当且仅当L作为向量空间同构于某R^n，这时这个同构也是同胚。