【数学基础Ep5】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 数列{n^（1/n）极限为1；

2. 当a>0时，{a^（1/n）}极限为1；

3. 数列极限的四则运算，lim xn=a，lim yn=b——

   lim（ɑxn+βyn）=ɑa+βb，ɑ，β是常数；

   lim（xnyn）=ab；

   lim（xn/yn）=a/b。

4. 线性相关：对于n（n>=1）个向量a1，a2，……，an，如果存在不全为零的n个数l1，l2，……，ln使得l1a1+l2a2+……+lnan=0，那么n个向量a1，a2，……，an叫做线性相关。

5. 线性无关：当且仅当l1=l2=……=ln=0式，上式才成立，则称a1，a2，……，an叫做线性无关。

6. 三向量共面的充要条件：线性相关。

7. 定理：在n>=2时，向量a1，a2，……，an线性相关的充要条件是其中一个向量是其余向量的线性组合。

8. 如果向量e1，e2，e3不共面，那么空间任意向量r可以由向量e1，e2，e3线性表示，或者说空间任意向量r可以分解成向量e1，e2，e3的线性组合，即r=xe1+ye2+ze3，并且其中系数x，y，z被e1，e2，e3，r唯一确定。这时e1，e2，e3叫做空间向量的基底。

   
   

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 编）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 编）》）——

求数列极限：lim{[（n^2+1）^（1/n）-1]sin （nπ/2）}

解：注意到{sin （nπ/2）}是有界数列，由经验可以揣测{（n^2+1）^（1/n）-1}为无穷小或者无穷大，验证即可——

1. lim[（n^2+1）^（1/n）-1]=lim（n^2+1）^（1/n）-1=[lim n^（1/n）]^2*lim （1+1/n^2）^[（n^2）（1/n^3）]-1=1*lim[e^（1/n）]^（1/n^2）-1=1-1=0；

2. |lim{[（n^2+1）^（1/n）-1]sin （nπ/2）}|<=|lim[（n^2+1）^（1/n）-1]|=0.

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——证明三个向量a=-e1+3e2+2e3，b=4e1-6e2+2e3，c=-3e1+12e2+11e3共面，其中a能否用b，c线性表示？如能表示，写出线性表示关系式。

解：三向量共面，即c为a和b的线性组合，即存在实数m，n，使得a=mb+nc，即——

1. -e1+3e2+2e3=m（4e1-6e2+2e3）+n（-3e1+12e2+11e3）=（4m-3n）e1+（-6m+12n）e2+（2m+11n）e3；

2. 得到方程组：-1=4m-3n，3=-6m+12n，2=2m+11n；

3. 由前两式解得：m=-1/10，n=1/5，代入第三式依然成立，即可得，三向量线性相关，且a=-b/10+c/5。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——数集{a+b*2^（1/3）|a， b为任意有理数}是否构成数环或数域？

解：该数集既不作成数域，也不作成数环，因为对乘法不封闭，例如4^（1/3）=[2^（1/3）][2^（1/3）]不是该数集元素——

1. 设存在有理数a， b，使得4^（1/3）=a+b*2^（1/3），即

   a

   =4^（1/3）-b*2^（1/3）

   =[2^（1/3）][2^（1/3）-b]

   =[2^（1/3）][4^（1/3）-b^2]/[2^（1/3）+b]

   =[2-（b^2）*2^（1/3）]/[2^（1/3）+b]；

2. （a+b^2）[2^（1/3）]=2-ab——

   若a+b^2=0，则ab=2，即b[4^（1/3）-b*2^（1/3）]=2，b*2^（1/3）-b^2=4^（1/3），b^2-b*2^（1/3）+4^（1/3），Δ=2^（2/3）-4*4^（1/3）=-3*4^（1/3）<0，无解；

   若a+b^2=不为0，则2^（1/3）=（2-ab）/（a+b^2），即无理数=有理数，矛盾。

   故而4^（1/3）不是该数集的元素。

就到这里！