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第一章 函数

第一节 函数概念

1、定义：自变量x，因变量y，x通过一个对应法则与y一一对应，记y=f(x)

x------------f加工方法-----→y

↓ ↓ ↓

自变量 对应法则 因变量

即：一个事物的变化带动了另一个事物变化，二者所存在的关系，就称函数关系式

比如y=X2

正方形面积S=边长×边长=X2

考点：①定义域：指x的取值范围

②对应法则：指对x的加工/处理方式

定义域考点：①具体函数求定义域

②抽象函数求定义域

第二节 求解具体函数求定义域

具体函数：知道函数具体函数表达式，如y=x+1

掌握常见具体函数定义域

①y=1/x，x≠0

②y=2n√x，x≥0

③2n+1√x，x∈（-∞，+∞）

④y=logax，x＞0，x是数 lnx，x＞0

⑤y=tanx，x≠kπ+π/2

⑥y=cotx，x≠kπ

⑦y=antanx，y=ancotx，x∈R，x∈（-∞，+∞）

⑧y=ansinx，y=ancosx，x∈[-1,1]

x：注意：整体思想（一坨） 1/x x≠0，1/X2 X2≠0，1/2x-1 2x≠0

x----换---→口

如：√口 口≥0，1/口→口≠0

eg：求y=√2x+1的定义域

解：2x+1≥0

2x≥-1

x≥-1/2

∴y=√2x+1的定义域，x∈[-1/2，∞）

eg：y=1/2x2 -x-1

解：2x2 -x-1≠0

(2x-1)(x+1)≠0

2x-1≠0 x≠1/2

→

x+1≠0 x≠-1

二次函数：

1）求根公式

y=aX2 +bx+c=0

△=(-b±√b2 -4ac)/2a

**2）十字相乘

x2+(a+b)x+ab=0

=(x+a)(x+b)

3）完全平方和差

(a+b)2 =a2 +2ab+b2 

eg：求y=(√2x+1)/2X2-x-1的定义域

①2x+1≥0，x≥-1/2

②2X2-x-1，x≠-1/2且x≠1

∴x∈（-1/2，1）∪（1，+∞）

eg：（2018-4）y=1/sinx+√1-x2的定义域是（C）

A.(-1,1] B.(-1,1) C.[-1,0)∪(0,1] D.(-1,0)∪(0,1)

①sinx≠0，x≠0

②1-X2  ≥0，x2≤1，-1≤-x≤1

x2≤b→-√b≤-x≤√b

第三节 考点二：求抽象函数定义域

↓

不知道函数的具体表达式，含f(x)

题型：已知f(口)的定义域，求f(△)中x的范围（定义域）

解法；两函数对应法则一样，则各自括号内范围应相同

即：若a≤口≤b，则可得a≤△≤b，进而解出x

eg：f(x)中x∈[-1,3)，则f(x+2)的定义域为

解：∵f(x)中，-1≤x＜3

∴f(x+2)中，-1≤x+2＜3

∴x∈[-3,1)

eg：（2016-3）f(2-4x)中x∈[-1,3)，则f(x)的定义域为

解：∵f(2-4x)中，-1≤x＜3

∴-10＜x+2≤6

∴f(x)中，-10＜x+2≤6

∴x∈(-10,6]

第四节 考点3：根据函数对应法则求函数表达式

题型：

①已知f(x)，求f[f(x)]或已知f(x) g(x)，求f[g(x)]→直接代入法

eg：（2009）f(x)=ex,g(x)=sinx，求f[g(x)]

解：∵f(x)=ex ∴f[g(x)]=eg(x) ，f[g(x)]→esinx

eg：（2015）设f(x)=1/1-x，则f[f(x)]=

解：∵f(x)=1/1-x

∴f[f(x)]=1/1-f(x)

=1/{1-[1/(1-x)]}

=-(1-x)/x

②知：f(口)=△，求f(x)

1）换元法

a：令口=t

b：由口=t，反解出x

c：回代，化解计算出x

eg:设f(1/x-1)=x/(2x-1)，求f(x)

解：令1/x-1=t，x=1/(t+1)

∴原式：f(t)=1/1-t

∴f(x)=1/1-x

2）配凑法：将右边凑成口的形式

三角函数，(a±b)2=a2+2ab+b2

eg：设f(cos2x)=tan2x，求f(x)及f(2x)

分析：tan2x=sinx/cosx=(1-cos2x)/cos2x

sin2x+cos2x=1

解：∵tan2x=(1-cos2x)/cos2x

∴f(cos2x)=(1-cos2x)/cos2x

∴f(x)=1-x/x=1/(x)-1

f(2x)=(1-2x)/2x=1/(2x)-1

第五节 反函数的概念

①定义：以y为自变量，x为因变量的函数，记为y=f-1(x).

②掌握：求解反函数的过程

由y=f(x)----解出x---→x=f-1(y)----互换x,y---→f-1(x)

eg：求y=x-2的反函数

x=y+2 ∴反函数为y=x+2

eg：y=ex +1的反函数最小为

lnex =ln(y-1) lnab =blna lne=1 ln1=0

→xlne=ln(y-1)

→x=ln(y-1)

∴反函数最小为y=ln(x-1)

第六节 常见的基本初等函数

①常数项：y=c（任意数）

②幂函数：y=xa y=x y=x2 y=x3 y=√x=x1/2

**公式：①xa·xb=xa+b

②xa/xb =xa-b

③b√x=xa/b

④x-a =1/xa

③指数函数：y=ax a>0，y=ex e=2.718

④对数函数：y=logax x=ay *lnx=logex

y=lnx⇔x=ey

y=logex

公式：①y=logax⇔x=ay

②y=logex=lnx⇔x=ey

四则运算：lna+lnb=lna·b

lna-lnb=lna/b

lnab=blna

uv=evlnu=elnuv

三角函数：

*常用的三角函数关系

勾股定理：a2+b2=c2

sinx=b/c cosx=a/c tanx=sinx/cosx，cotx=cosx/sinx

tan=b/a cotx=a/b tanx=1/cotx或cotx=1/tanx

secx=1/cosx cscx=1/sinx

*常用的三角函数值

sin(0)=0 cos0=1 tan0=0

sin(π/6)=1/2 cos(π/6)=√3/2 tan(π/6)=√3/3=sin(π/6)/cos(π/6)=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3

sin(π/4)=π/2 cos(π/4)=√2/2 tan(π/4)=1→antan1=(π/4)

sin(π/3)=π/2 cos(π/3)=1/2 tan(π/3)=√3

sin(π/2)=1 cos(π/2)=0

*常用的反三角函数值

①antan1=π/4 ③ansin1=π/2

②ancos0=π/2 ④antan0=0

antan√3=π/3

*常用的三角函数：

①平方和：sin2x+cos2x=1，1+tan2xsec2x，1+cot2x=csc2x

②二倍角：sin2x=2sinxconx

cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x

③降次：cos2x=(1+cos2x)/2，sin2x=(1-cos2x)/2

*1/1+cosx⇔(1-cosx)/(1+cosx)(1-cosx)=(1-cosx)/(1-cos2x)=(1-cosx)/sin2x

sec2x=1/cos2x

*平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方差公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

立方差：a3±b3=(a±b)(a2干2ab+b2)

第七节 复合函数及其分解

复合函数及其分解：

①定义：称y=f[g(x)]这种形式的函数为复合函数。（函数内套函数）

考点：复合函数的分解 导数

*分解原则：从外向里，层层递减，分解到含x的基本初等函数停。

注：每层用u,v,w

eg：y=sin(2x)

第一层是sin，第二层是2x

解：①y=sinu②u=2x

eg：y=sin2x y=sinx2

⇕ ①y=sinu②u=x2

y=(sinx)2

↓

解：①y=u2②u=sinx

eg：y =sin(ln√(x2 -1))

解：y=sinu u=lnv v=√w w= x2 -1

第八节 函数奇偶性

*函数的四大性质：奇偶性**、有界性*、周期性、单调性

①函数的奇偶性（**）

1）条件→f(x)的定义域，关于原点（0,0）对称

2）结论：①f(x)的图像关于y轴对称，→称f(x)为偶函数

*注：此时f(-x)=f(x)

②f(x)的图像关于原点对称，→称f(x)为奇函数

*注：此时f(x)=-f(x)

③理解

*常见的奇函数与偶函数：

①奇函数：x奇数 sinx ansinx tanx antanx

②偶函数：x偶数 cosx |x| 常数c

*奇，偶函数四则运算性质

奇±奇=奇 *奇×(÷)奇=偶

偶±偶=偶 *奇×(÷)偶=奇

*奇±偶=非奇非偶 偶×(÷)偶=偶

eg：（2014-3）y=x4 ·sinx的奇偶性： 奇函数

*①f(-x)=f(x)→偶 ②x4 →偶

f(-x)=-f(x)→奇 sinx→奇

∴x4·sinx→奇

*复合函数的奇偶性：

奇（奇）=奇 奇（偶）=偶 偶（奇）=偶

全奇则奇，遇偶则偶

eg：（2018）下列函数为奇函数的是（ ）

A.sin(cosx)偶

B.tan(sinx) cotx=cosx/sinx=偶/奇→奇

C.tan(cosx)偶 tanx=sinx/cosx=奇/奇→奇

D.cos(cotx)偶

*题型一：含有常见具体函数，首先用函数性质，判断奇偶性

eg：设f(x)=x4·sinx3 →偶·奇=奇

∵x4 是偶函数

sinx3 是奇函数

∴ 为奇函数

题型二：含f(x)的表达式→用定义

①含f(x)②f(-x)③f(-x)=f(x)→偶

f(-x)=-f(x)→奇

eg：设g(x)=f(x)+f(-x)判断g(x)的奇偶性

解：∵g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)

∴g(-x)=g(x)

∴g(x)为偶函数

f(x)+f(-x)→偶函数 f(x)-f(-x)→奇函数

eg：设f(x)=[(ex+e-x )/2]·sinx2 的奇偶性

解：∵f(x)=[(ex+e-x )/2]·sinx2

∴f(-x)=[(e-x+ex )/2]·sinx2

∴f(x)=f(-x)

∴f(x)=[(ex+e-x )/2]·sinx2是偶函数

eg：（2008-3）设f(x)在x∈R上为任意函数，则下列函数为偶函数的是（ D ）

A.f(x)-f(-x) 奇函数

B.[f(x)]2 令g(x)=[f(x)]2，g(-x)=[f(-x)]2，无法确定奇偶性

C.|f(x)| 令g(x)=|f(x)|，g(-x)=|f(-x)|，无法确定奇偶性

D.f(|x|) 令g(x)=f(|x|)，g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)→偶函数

第九节 函数性质2

*②有界性

若f(x)函数值是固定在某个范围内，称f(x)有界

m≤f(x)≤M，称M为上界，m为下界

*考点：0·有界=0

在极限中遇到sin∞、cos∞、antan∞要考虑有界性

③f(x) x1<x2，f(x1)<f(x2)=>f(x)↑

x1<x2，f(x1)>f(x2)=>f(x)↓

④周期性：经过一段时间，重复出现的现象

f(x)=f(x+T)

第十节 极限的概念

①limit

②思考：

极限：描述某个东西，在一定条件下的趋势

第十一节 极限及其四则运算

①函数极限*

②数列极限*

*③左右极限

④极限存在：左右极限存在且相等

⑤注：f(x)在某点x0处的极限值与f(x)在该点有无定义/f(x0)无关

*函数极限计算⇔四则运算

设limf(x)=A,limg(x)=B

*①lin[f(x)±g(x)]=umf(x)±limg(x)=A±B

②limf(x)·g(x)=umf(x)·limg(x)=A·B

③limf(x)/g(x)=umf(x)/limg(x)=A/B B≠0

注：前提条件：极限存在

第十二节 函数极限计算小知识

①习惯：a.先定型→将x→x0中加代入f(x)中

b.定法：根据类型定方法

②注：在定型的时候，可将非零的常数 先计算（非零因子，先代入）

↓

乘、除关系中

③

第十三节 无穷比无穷极限计算

①定义：分子→（→的意思是趋于）∞，分母→∞的极限

②解法：抓大头

③题型：1）幂函数抓大头

2）指数函数

3）通过抓大头求参数

①幂函数抓大头→抓次方最大项

储备：x→+∞ 1<<x<<x2<<x3 =>次方越高，值越的

1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

解法2：分子、分母同除式子中的最高次项（x的最高次或n的最高次）

②指数函数抓大头：

解法：抓底数最大项

③利用∞/∞极限存在，反求参数a,b

↓

常数

1）看分母最高次，再看分子最高次

2）结论：分母最高次=分子最高次，值为非零常数

分母最高次>分子最高次，值为0

第十四节 0/0函数极限计算

①定义：分子→0，分母→0的极限

②解法：利用等价无穷小量求解

③等价来源：

④常用的等价公式

当x→0时

⑤