写数学书的人要皮这么一下，看书的人被坑的不要不要的啊...

最近一直看微分几何相关的书籍和文章，可是对“微分形式”这个概念却越发的觉得有某种违和感，总感觉自己的不同理解总是对不上，于是将自己手中的各种资料拿来详细对比。

首先是Foundations of Differential Geometry这本书，其中对k阶微分形式的定义是：

也就是说k阶微分形式是Λ^k(T*M)的截面（section），其本身构成的空间表示为Ω^k(M)。总之就是微分形式的空间是Ω开头的这个玩意，而不是Λ开头的那个。

而另外一篇文章：Lie Groupoids in Classical Field Theory I: Noether’s Theorem，则有这句话：

文章中说任意流形上的r阶微分形式的纤维丛是Λ^r(T*E)，也就是说Λ开头这货作为这个纤维丛的总空间，由r阶微分形式构成。总之就是微分形式的空间是Λ开头的这个玩意。

总之我就感觉很奇怪了，按照微分形式的定义，就应该是余切空间T*E的外幂的那个Λ开头的东西才对啊，难道是我对Λ外幂这个东西的理解错了？

之后我又想到另外一本书：The Geometry of Jet Bundles：

更加凌乱了，这本书和前面的书都用Λ与一个切空间（这里是T*M）作为总空间，然而不同于第一本书用Ω^k(M)作为截面，这本书用Λ^r(M)表示截面，且两本书都说这个截面就是微分形式的空间（不同于第二篇文章以总空间为微分形式的空间），难道说其实Λ和Ω这两个符号都是一个意思？Λ^r(M)就表示M上的r阶微分形式的话，那么Λ^r(T*M)难道表示以TM为底空间，在它上面定义的微分形式？无法理解啊...太乱了...

后来，我又翻到了梁灿彬的微分几何入门与广义相对论这本书，总算水落石出了：

什么，还有略去关键字的操作？differential form和differential form field这两个东西完全不同好吗？这都能略去“field”这个关键字？

最终结论出来了，其实流形M上的k阶微分形式构成的空间就是Λ^k(T*M)那个，而那个Ω^k(M)这个玩意准确的说应该是k阶微分形式场，作为截面，根据底流形M上具体的点，给出总空间Λ^k(T*M)中一个具体的k阶微分形式。即1、3这两本书所说的“形式”都是“形式场”略去了“场”字的一种说法。

也就是说，同一个术语，对应了2个不同的东西，有的数学家就是要皮那么一下，省略一个关键字。最后还是多亏了个搞物理的专门指出这个细节...说好的数学家严谨，物理学家粗枝大叶呢？另外第3本书截面也用Λ来表示，大概只是那个作者自己的符号规定吧...

总之这次是被坑惨了...PS：但愿目前的理解没错...