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学记77 | 《数学通识50讲》: 为什么会有矩阵这个东西?

2023-04-11 10:34 作者:伽林公园GalenPark  | 我要投稿


学好数理化,走遍天下都不怕。


我相信80后、90后都听过这句话。因为当时的教学体系还不完善,数理化这些基础学科的占比大,而且容易培养人才,所以数理化才受到重视。不过随着综合教育体系越来越完善,这句话现在也不太流行了。


我当初也是听了这句话之后学了理科,不过后来我既没有学好数理化,也没有走遍天下,


害怕。


最近又学习了一下矩阵,发现本科学的线性代数的知识大部分都忘记了。有些计算题即使我知道计算方法,也不知道这么做的意义在哪里。我只能做到给我个计算题,我能算出来,仅此而已。


于是乎,有个问题就在我脑中浮现——为什么会有矩阵这个东西?


1.为什么会有矩阵这个东西?

按照某教科书的定义,M x N个数按一定顺序排成的数表,称为M行N列的矩阵。


看完了这个定义的我表示:啥意思?


现在我们把教科书撕了,从应用的角度来说一下。


矩阵大概长下面这样👇🏻,上面的定义中俩字比较重要——数表。


一堆数,很多行很多列,组成了一个「表」,叫矩阵。


那为什么这堆数不写到一行呢?


矩阵产生的原因是向量的扩展,每个数字代表一个维度的分量。比如某企业的销售部门对员工的要求有4个维度,分别是能力、沟通、协作、健康。写为V1=(2, 3, 1, 1), V1就是一个向量,放在第一行。


研发部门对员工的要求是学历、经验、编程、沟通,写为V2=(4, 2, 3, 1),把它放到第二行。


每一个岗位的要求就是一个向量,公司里有若干个部门,于是就会有V1,V2,V3,V4.....Vm。如果把这么多向量放在一起,最直观的方式就是把这些向量一行行地排列起来,这样就形成了一个M行N列的矩阵。上面举例的矩阵是3行4列,也就是3x4的矩阵。


为什么这堆数不能写到一行?


因为矩阵中的关键是每一行和每一列都能被赋予特殊的含义。而且通过矩阵的运算,可以解决很多问题。


2.数学与金融

今天在华尔街从事金融工作的人,其中很多人是学数学的。为什么数学和金融有关系,让我们用通过一个矩阵的乘法来举例说明。


比如有两家投资银行,第一家投资银行的股票基金、债券基金、高风险基金的历史回报数据分别是7%、3%、10%。第二家投资银行的三个产品的历史回报数据分别是8%、2%、9%。


如果把这两组数放到矩阵中可以这么表示:


如果我有1万元要投资,这两家银行怎么选?


假设我根据我的风险偏好,我把这1万元要分成3份:股票基金投7000元,债券基金投2000元,高风险基金投1000元。那我这1万元就分成了3个维度,为了方便做乘法,把这三个数竖着写:

如果把钱交给两家公司,第一家公司的回报是:

7% x 7000 + 3% x 2000 + 10% x 1000 = 650


第二家公司的回报是:

8% x 7000 +2% x 2000 + 9% x 1000 =690


可以看出,第二资银行的回报更高。如果用矩阵来表示的话就是这样:


当然这只是三个维度下的计算,不用矩阵相乘也可以,但如果要是1千维、1万维,矩阵的优势就体现出来了——它既方便又不容易出错


矩阵和向量相乘,就是批处理解决问题的思路,而我们学的乘法和连加是单个问题的解决思路。


假如你对风险的承受能力强,这时你按3000、2000、5000来分配投资,哪家银行回报率更高?

可以看出,第一家投资银行的回报更高。


如果把两种投资方式放在一起,就可以写成这样。


当然你还可以调整投资方式,对应P3、P4、P5、...


今天,如果你是亿万富翁,带着几大编织袋的钱找到高盛或者摩根士丹利让他们帮你投资,他们为你做的第一件事就是根据历史数据,帮你推算在不同投资比例下的回报(也就是刚刚举的例子)。所以如果在投行工作,数学知识必不可少,而用到最多的就是矩阵的运算。


矩阵相乘的好处,就是批量处理。在我们今天这个信息时代,这是一种很重要的思维方式。

在运算的时候,左边的矩阵可以看做是一组常数系数,右边竖着的向量中的数字是未知数变量,这样矩阵和向量的乘法就变成了一组线性方程。如果把它们画在空间中,就是直线、平面或者立方体,都是线性的,不会有任何曲线。因此,涉及到这一类的代数运算被称为线性代数。——吴军:数学通识50讲

3.尾巴

吴军老师在《富足》中提到,如果打好数学或者理论物理学的基础的话,将来有可能做很多事情,因为这两个学科教给人的是最底层的逻辑。如果你本科学习的是数学或者理论物理学,那么研究生阶段就可以选择几乎所有理工科的专业,只要再补两三门专业课就够了。而如果学习了某一个专业特定的技能,那换一个专业可能就要从头做起。


看来数学还真挺有用的。


插播一句,如果想了解更多关于线性代数的知识可以去MIT的开网课平台上看Gilbert Strang教授讲的「线性代数 MIT 18.06」,好评如潮。根据 OCW 官网统计的数据,这门课程自 2002 年第一次发布以来,总访问量已经超过 1000 万。


🔗https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/


网易公开课上也有带字幕的版本

🔗https://open.163.com/newview/movie/free?pid=M6V0BQC4M&mid=M6V29E773&frm=record


教材:清华大学出版社出版的线性代数第五版,也是Gilbert Strang教授编写的(ISBN: 9787302535560),注意这本书是英文版(没错,清华学子们已经用全英文的教材了)。

感谢你花时间读到这里。


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