平面几何题目分享（2）题中“古董”

（写在前面凑字数）本题集主要由我比较喜欢的平面几何题目组成，也包括一定量改编或自编题。一期的内容暂定为：本期题目＋上一期答案。由于信息有限，部分题目可能无法标注出处，如有必要可联系我。前几期先试试水，题目难度不会很大，之后的风格和难度待定。（本题集无任何教育功能或目的，仅供娱乐。）

1977年是中国恢复高考的第一年，在这一年的数学试卷中，出现了一道平面几何题，如下题。

2.1 △ABC，AD⊥BC，在BC上取一点P使∠BAD＝∠PAC。求证：直线AP过△ABC外接圆的圆心。

虽然此题难度很小，却非常有纪念意义和收藏价值。

为了躲避水专栏的嫌疑，在1978年的第一届全国中学生数学竞赛中，也有这样一道平面几何题。（应该是）

2.2 △ABC，DE∥AB，DB，AE交于点F，AF，DE相较于点G。求证：G为DE中点。

此题运用塞瓦定理几乎可以瞬间解决，但当时知道这个定理的人却不多。那么如何不用塞瓦定理来解决这个问题呢？

第一期解答

已知E为三角形ABC的垂心，D为AB中点，以DE为直径的圆分别交AE，BE于F，G两点。连接CF，CG，求证：∠ACF=∠BCG。

如图，连接DF，DG，设AE交BC于H，BE交AC于I

∵直径DE，

∴∠AFD=90°=∠AHB

∴DF∥BC

又∵D为AB中点，

∴F为AH中点，同理G为BI中点。

∴sinC=2AF/AC=2BG/BC

又∵∠CAH=∠CBI

∴△CFA∽△CGB

∴∠ACF=∠BCG。