《几何原本》命题4.15【夸克欧氏几何】
命题4.15：
可作一已知圆的内接正六边形
已知：圆ABCDEF，直径AD
求：作圆ABCDEF的内接正六边形
解：
求出圆ABCDEF的圆心点G
（命题3.1）
以点D为圆心，DG为半径作圆CEH
（公设1.3）
连接CG，EG
（公设1.1）
延长CG与圆ABCDEF交点记为点F，延长EG与圆ABCDEF交点记为点B
（公设1.2）
连接AB，BC，CD，DE，EF，AF
（公设1.1）
求证：六边形ABCDEF等边且等角
证：
∵点D是圆CEH的圆心
（已知）
∴DE=DG
（定义1.15）
∵点G是圆ABCDEF的圆心
（已知）
∴DG=EG
（定义1.15）
∴DE=DG=GE
（公理1.1）
∴∠DGE=∠EDG=∠DEG
（公理1.5）
∵△DEG中，∠DGE+∠EDG+∠DEG=两直角
（已知）
∴3∠DGE=两直角
（公理1.1）
∴∠DGE=⅔直角
同理可证，∠DGC=⅔直角
∵∠BGC+∠DGE+∠DGC=两直角
（命题1.13）
∴∠BGC=⅔直角
（公理1.2）
∴∠DGE=∠DGC=∠BGC
∵∠DGE=∠AGB，∠DGC=∠AGF，∠BGC=∠EGF
（命题1.15）
∴∠DGE=∠DGC=∠BGC=∠AGB=∠AGF=∠EGF
（公理1.1）
∴◠AB=◠BC=◠CD=◠DE=◠EF=◠AF
（命题3.26）
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF
（命题3.29）
∵◠AF=◠DE
（已证）
∴◠DAF=◠ADE
（公理1.2）
∴∠AFE=∠DEF
（命题3.27）
同理可证，六边形ABCDEF其余角都相等
证毕
此命题在本卷中未被使用
推论：类似地，我们可以通过前面五边形的方法，作出已知正六边形的内切圆和外接圆
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