【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep102】函数不定式（二）

今天继续通过一些例题来讨论函数的不定式：

c.x趋近于0时，lim [（1+x）^r-1]/x=r，r>0，r是有理数

情形一：r=n，n为自然数

1. 牛顿二项式展开：

   [（1+x）^n-1]/x

   =[1+nx+n（n-1）x^2/2+……+x^n-1]/x

   =[nx+n（n-1）x^2/2+……+x^n]/x

   =n+n（n-1）x/2+……+x^（n-1）；

2. x趋近于0，lim [（1+x）^n-1]/x=n

情形二：r=1/m，m为自然数

1. 令（1+x）^（1/m）-1=y，x=（y+1）^m-1；

2. [（1+x）^（1/m）-1]/x

   =y/[（y+1）^m-1]

   =1/{[（y+1）^m-1]/y}；

3. x趋于0时，y趋于0，lim [（y+1）^m-1]/y=m，则lim [（1+x）^（1/m）-1]/x=1/m

情形三：r=n/m，m，n为自然数

1. 令（1+x）^（1/m）-1=y，x=（y+1）^m-1；

2. [（1+x）^（n/m）-1]/x

   =[（1+y）^n-1]/[（1+y）^m-1]

   ={[（1+y）^n-1]/y}*{y/[（1+y）^m-1]}

   =n/m

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