2.4 真空能发散

今天学习一个标量场的真空能。在上一节中，我们已经计算出了一个标量场对应的Hamiltonian和动量算符，它们可以用粒子数算符来表示，结合Fock态的物理意义。真空态表示没有任何粒子，它具有0动量我们计算出动量算符在真空态下的期望值为零。当然对于能量我们也期望它在真空态下的期望值为零。但是容易看到Hamiltonian中的1/2项，会使整个真空的能量发散。注意我们在计算的过程中要使用Fock态的正交关系。

我们实际的积分场频率在整个空间维度会得到Gamma函数，

Gamma 函数在 n >0 的所有偶数整数值处都包含极点。这种通过将时空维度从整数值继续拉大而暂时使发散量有限化的方法构成了维度正则化的基础（见第 6 章）。

可以看出真空中含有无限的能量密度。这来源与Hamiltonian中的1/2项。由于模式频率没有上限，所以零点能可以无限大。然而在平坦时空中这个问题是容易解决的。在非引力物理学中，能量本身是不可测量的，因此我们可以重新调整能量零点的大小，甚至可以无限大，而不会影响可观测量。要做到这一点，我们可以简单地丢掉1/2项。或者我们可以定义一个新的计算过程标记为“：A：”，称为正则排序计算。在这个计算中，我们要求所有的出现产生湮灭算符的地方都规定湮灭算符在前面，也就是：

由此Hamiltonian表示为：

这样，1/2的项就会消失。

接下来我们考虑能动量张量的期望值，带入标量场的展开式到能动量表达式的第一项中得到：

经过计算，然后得到：

注意等式右边表示称为双线性对于能动量张量。