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复习笔记Day111:概率论知识总结(三)

2023-03-03 15:20 作者:间宫_卓司  | 我要投稿

附录4.5.1 (%5Ctext%7BRiemann-Stieltjes%7D积分) 设F是分布函数,%5Cphi%20R上的非负函数,称%5Cphi%20关于F在区间(a%2Cb%5D上是%5Ctext%7BStieltjes%7D可积的,如果存在常数A,使得对任何%5Cvarepsilon%20%3E0,存在%5Cdelta%20%3E0,对任何(a%2Cb%5D上的分划%5CDelta%20%3Aa%3Dx_0%3Cx_1%3C%5Ccdots%20%3Cx_n%3Db,只要分划的长度%5Cleft%7C%20%5CDelta%20%5Cright%7C%3D%5Cunderset%7B1%5Cle%20i%5Cle%20n%7D%7B%5Cmax%7D%5Cleft%7C%20x_i-x_%7Bi-1%7D%20%5Cright%7C%3C%5Cdelta%20 ,就有

%5Cleft%7C%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20y_i%20%5Cright)%20%5Cleft(%20F%5Cleft(%20x_i%20%5Cright)%20-F%5Cleft(%20x_%7Bi-1%7D%20%5Cright)%20%5Cright)%7D-A%20%5Cright%7C%3C%5Cvarepsilon%20

对任何y_i%5Cin%20%5Cleft(%20x_%7Bi-1%7D%2Cx_i%20%5Cright%5D%20%2C1%5Cle%20i%5Cle%20n成立,就记A%3D%5Cint_%7B%5Cleft(%20a%2Cb%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D

太长了懒得写了,总之就是如果%5Cphi%20是非负的,那反常积分收敛的定义就%5Ctext%7BRiemann%7D积分的反常积分的定义是类似的,但是如果%5Cphi%20是一般的函数,反常积分收敛的定义却和%5Ctext%7BLebesgue%7D积分的定义是类似的

从这个积分的定义可以看出,如果F(x)%3Dx的话(虽然它不能做分布函数),就是普通的%5Ctext%7BRiemann%7D积分,而如果F(x)可导的话,那么

%5Cint_%7B%5Cleft(%20a%2Cb%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%3D%5Cint_%7B%5Cleft(%20a%2Cb%20%5Cright%5D%7D%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20F'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D

定理4.2.2 %5Cxi是随机变量,F是其分布函数。如果%5Cphi%20是非负连续或有界连续函数,那么

%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cphi%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20%3D%5Cint_R%7B%5Cphi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D

如果记得%5Ctext%7BRiemann-Stieltjes%7D积分的定义,那这个结论其实还蛮直观的

§4.3  方差及其不等式

定理4.3.1 (1)%5Ctext%7BChebyshev%7D不等式:设%5Cxi是一个随机变量,%5Calpha%3E0,则对于任意m>0,有

%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cleft%7C%20%5Cxi%20%5Cright%7C%5Cge%20m%20%5Cright%5C%7D%20%5Cright)%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%5E%7B%5Calpha%7D%7D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cxi%20%5Cright%7C%5E%7B%5Calpha%7D

(2)%5Cmathrm%7BCauchy%7D-%5Cmathrm%7BSchwarz%7D不等式:设%5Cxi%2C%5Ceta是随机变量,那么%5Cleft%7C%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5Ceta%20%5Cright%7C%5E2%5Cle%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5E2%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Ceta%20%5E2

推论4.3.1 简单介绍了一些方差的性质,没什么好说的,不过为什么D不用花体呢?

§4.4  常见分布的期望

介绍了一些简单的离散随机变量和一些有趣的例子,想要具体学习这些内容建议换一本概率论教材

§4.5  大数定律

定理4.5.1  (%5Cmathrm%7BBernoulli%7D)对任何%5Cvarepsilon%20%3E0,有

%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B%5Cxi%20_n%7D%7Bn%7D-P%20%5Cright%7C%3E%5Cvarepsilon%20%5Cright)%20%3D0

推论4.5.1  设%5Cxi%2C%5Ceta是随机变量,则(1)%5Cxi%2C%5Ceta独立当且仅当对任何非负或有界连续函数f%2Cg,有

%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20f%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20g%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20f%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BE%7D%20g%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%20

(2)如果%5Cxi%2C%5Ceta独立,则对任何连续函数f%2Cg,随机变量f%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cright)%20%2Cg%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%20也独立

(1)的必要性的证明思路:用连续函数去逼近示性函数1_%7B%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2Cx%20%5Cright%5D%7D,然后利用引理4.1.2的(3)

 定理4.5.2  设事件%5Cleft%5C%7B%20%5COmega%20_n%3An%5Cge%201%20%5Cright%5C%7D%20%5Csubset%20%5Cmathscr%7BF%7D%20%5COmega%20的一个划分,那么对任何随机变量%5Cxi,有

%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D%5Csum_%7Bn%5Cge%201%7D%5E%7B%7D%7B%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%7C%5COmega%20_n%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5COmega%20_n%20%5Cright)%7D

第五章   连续型随机变量

从这章开始介绍连续型随机变量,其实当前对连续型随机变量并不是完全不了解的,例如定义4.1.2给出的是一般的非负随机变量的期望的定义,Levy单调收敛定理Fatou引理Lebesgue控制收敛定理以及定理4.2.2这一系列与期望和随机序列有关的结论都是对连续型随机变量也成立的,但是还有一些结论是只对离散型随机变量成立的,例如引理2.3.1只能推出离散型随机变量和函数的复合还是离散型随机变量,还有就是对离散的样本空间中的%5Csigma-域,直接取样本空间的幂集就好了,但是样本空间中的元素不可列的话,就没办法直接这样做了

§5.1  可测性

引理 5.1.1 (1)非空集合%5COmega%20上任意多个%5Csigma-域的交仍然是%5Csigma-域;(2)设%5Cmathscr%7BA%7D%5COmega%20的子集的一个集合,则所有包含%5Cmathscr%7BA%7D%5Csigma-域的交是%5Csigma-域,记为%5Csigma%20%5Cleft(%20%5Cmathscr%7BA%7D%20%5Cright)%20。它是包含%5Cmathscr%7BA%7D的最小%5Csigma-域;

R上所有开区间生成的%5Csigma-域称为Borel域,记为%5Cmathscr%7BB%7D%20或者%5Cmathscr%7BB%7D%20%5Cleft(%20%5Cmathbf%7BR%7D%20%5Cright)%20,里面的集合被称为Borel集。%5Cmathscr%7BB%7D%20中包含了开集、闭集、单点集、半开半闭区间

定理 5.1.1 %5Cleft(%20%5COmega%20%2C%5Cmathscr%7BF%7D%20%2C%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cright)%20是概率空间,则%5COmega%20上的函数%5Cxi是随机变量当且仅当%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Cmathscr%7BB%7D%20%5Cright)%20%5Csubset%20%5Cmathscr%7BF%7D%20

其中%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Cmathscr%7BB%7D_0%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20B%20%5Cright)%20%3AB%5Cin%20%5Cmathscr%7BB%7D%20_0%20%5Cright%5C%7D%20

再说的直白点的话,就是%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Cmathscr%7BB%7D%20_0%20%5Cright)%20%3D%5Cbigcup_%7BB%5Cin%20%5Cmathscr%7BB%7D%7D%5C%7B%7B%5Cleft%5C%7B%20w%3A%5Cxi%20%5Cleft(%20w%20%5Cright)%20%5Cin%20B%2Cw%5Cin%20%5COmega%20%5Cright%5C%7D%7D%5C%7D

证明思路:如果%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Cmathscr%7BB%7D%20%5Cright)%20%5Csubset%20%5Cmathscr%7BF%7D%20,那么%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2Cx%20%5Cright%5D%20%5Cright)%20%5Cin%20%5Cmathscr%7BF%7D%20%5Cxi肯定是随机变量。反过来,用%5Cmathscr%7BB%7D%20'去表示所有满足%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20%5Cin%20B%20%5Cright%5C%7D%20%5Cin%20%5Cmathscr%7BF%7D%20的集合B组成的集合,那么因为%5Cxi是随机变量,所以一方面%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2Cx%20%5Cright%5D%20%5Cin%20%5Cmathscr%7BB%7D%20',所有如果可以证明%5Cmathscr%7BB%7D%20'%5Csigma-域,那么%5Cmathscr%7BB%7D%20'肯定包含%5Cmathscr%7BB%7D%20,进而

%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Cmathscr%7BB%7D%20%5Cright)%20%5Csubset%20%5Cxi%20%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Cmathscr%7BB%7D%20'%20%5Cright)%20%5Csubset%20%5Cmathscr%7BF%7D%20

这就证明了结论

一个R上的函数被称为%5Ctext%7BBorel%7D可测的,如果%5Cleft%5C%7B%20y%3Af%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20%5Cle%20x%20%5Cright%5C%7D%20%5Cin%20%5Cmathscr%7BB%7D%20对任何x都成立,这也等价于每一个Borel集的逆像还是Borel集

定理 5.1.2 (1)R上的连续函数是Borel可测函数;(2)设%5Cxi是随机变量,f是Borel可测函数,那么f(%5Cxi)是随机变量

§5.1  分布函数的实现

(注意上面的定理都是可以推广到多维的情况的)

分布函数的广义逆是指

F%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cmathrm%7Binf%7D%5Cleft%5C%7B%20y%3AF%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20%5Cge%20x%20%5Cright%5C%7D%20%2Cx%5Cin%20%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20

直观来说也就是最大的使得F(y)%3Dxy

引理 5.1.2 介绍了广义逆的若干性质

定理 5.1.2 直线R上的任意分布函数F可以实现

这个定理的大概意思就是给定任何一个分布函数F,即满足单调递增且F(-%5Cinfty)%3D0%2CF(%2B%5Cinfty)%3D1的函数,都可以找到一个随机变量,使得这个随机变量的分布函数就是F

证明思路:首先%5B0%2C1%5D上的均匀分布是可以实现的(证明懒得看了),记为%5Ceta然后记%5Cxi%20%3DF%5E%7B-1%7D%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cright)%20,可以证明%5Cxi即为所求

有一些地方没用公式编辑器的公式是因为图片超了,但是只超了16张,所有我只好把超的部分换掉了







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