拓端tecdat|R语言模拟ARCH过程模型分析时间序列平稳性、波动性
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在事物的发展过程中，常表现出复杂的波动情况，即时而波动的幅度较缓，而又时常出现波动集聚性(VolatilitY clustering),在风险研究中经常遇到这种情况。恩格尔(Engle)在1982年提出了用来描述方差波动的自回归条件异方差模型ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity model )。并由博勒斯莱 文(Bollerslev, T., 1986)发展成为广义自回归条件异方 差GARCH (Generalized ARCH),后来又发展成为很多的特殊形式。
在AR(1)过程的背景下，我们花了一些时间来解释当
接近于1时会发生什么。
如果
过程是平稳的，
如果
该过程是随机游走
如果
这个过程会大幅波动
同样，随机游走是非常有趣的过程，具有令人费解的特性。例如，
作为
，并且该过程将无限次穿过 x轴……
我们仔细研究了 ARCH(1) 过程的性质，尤其是当
，我们得到的结果可能令人费解。
考虑一些 ARCH(1) 过程
，具有高斯噪声，即
其中
是一个 iid 序列
变量。这里
和
必须是正的。
回顾 由于
. 因此
，所以方差存在，并且只有当
, 在这种情况下
此外，如果
，则可以得到第四矩，
. 现在，如果我们回到研究方差时获得的属性，如果
， 或者
?
如果我们查看模拟，我们可以生成一个 ARCH(1) 过程 ， 例如
。
> ea=rnorm> eson=rnorm> sga2=rep> for(t in 2:n){> plot
为了理解发生了什么，我们应该记住，我们好的是，
必须在
之间能够计算出
的第二时刻。 但是，有可能有一个具有无限变异的平稳过程。
迭代
一次又一次地迭代……
其中
在这里，我们有一个正项的总和，我们可以使用所谓的 Cauchy rule： 定义
那么，如果
，
收敛。这里，
也可以写成
并且根据大数定律，因为我们这里有一个独立同分布项的总和，
因此，如果
， 然后
会有限制，当
取无穷大。
上面的条件可以写成
这就是所谓的 Lyapunov 系数。
方程
是
一个条件 .
在这种情况下
，这个上界的数值是3.56。
> 1/exp(mean(log(rnorm(1e7)^2)))
在这种情况下 （
)，方差可能是无限的，但序列是平稳的。另一方面，如果
， 然后
几乎肯定会走向无穷大，因为
走向无穷大。
但是为了观察这种差异，我们需要大量的观察。例如，
和
,
我们很容易看出区别。我并不是说很容易看出上面的分布具有无限的方差，但仍然如此。
如果我们考虑对上述序列绘制希尔图，在正
的尾部
> hil
或负
的尾部
-epsilon
我们可以看到，尾部指数（严格来说）小于2（意味着2阶的时刻不存在）。
为什么它令人费解？也许是因为这里
不是弱平稳（在
意义上），而是强平稳。这不是通常的弱和强的关系方式。这可能就是为什么我们不称其为强平稳性，而称其为严格平稳性。
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