向量对向量的投影公式的简单推导

2023-03-16 20:49 作者:散佚的魔导书 0人读过 | 我要投稿

向量对向量的投影公式的简单推导的记录，如果我忘记了就可以再看一下这个记录...

如果对任何人有帮助就再好不过了，如果其中有错误，请一定要告诉我，谢谢啦！

对于对下图的向量投影，有公式

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%20%7D%7BB%5Ccdot%20B%7D%20%5Cspace%20B%20$

下面是对此公式的简单推导：

如下图所示，可以知道投影向量 $A_%7Bprojected%7D$ 的方向和 $B$ 的方向相同，长度是 $%7CA%7C%5Ccdot%20%5Csin%20%CE%B8$ 。

所以有

$A_%7Bprojected%7D%3DB_%7Bnormalized%7D%5Ccdot%20%7CA%7C%5Ccdot%20%5Csin%20%CE%B8$ ，

其中 $B_%7Bnormalized%7D$ 是B的归一化向量，模长为1，也就是 $B_%7Bnormalized%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7B%7CB%7C%7D%20$ 。

由点积的定义 $A%5Ccdot%20B%3D%7CA%7C%7CB%7Csin%CE%B8$ 可知 $sin%CE%B8%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CA%7C%7CB%7C%7D%20$ ，可带入上式，得到

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7B%7CB%7C%7D%20%5Ccdot%20%7CA%7C%5Ccdot%20%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CA%7C%7CB%7C%7D%20$

化简可以得到

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BB%7D%7B%7CB%7C%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CB%7C%7D%20$

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7B%7CB%7C%5E2%20%7D%20%20B$

最后由于 $B%5Ccdot%20B%3D%7CB%7C%5E2$ ，得到

$A_%7Bprojected%7D%3D%5Cfrac%7BA%5Ccdot%20B%7D%7BB%5Ccdot%20B%7D%20%20B$

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