一道积分题的个人解法
原题详见:
可分别求∫√cotxdx①和∫√tanxdx②再相减
对①，令x=arccotu
则①=∫√ud(arccotu)=∫-√u/(1+u²)du=
-∫√u/(1+u²)du
即需求不定积分∫√u/(1+u²)du
对②，令x=arctanu
则①=∫√ud(arctanu)=∫√u/(1+u²)du
即需求不定积分∫√u/(1+u²)du
因此，目标可转向求取不定积分∫√u/(1+u²)du
ps:由于打字设备限制，暂无法使用文档打出工整数学符号，又因积分过程较繁琐，且字符不易打出。为方便读者理解，鄙人无奈只能采用手写了。(字丑勿嫌)
再分别对两个不定积分自变量将元换回即可
最终(待化简)结果为
其中，t⁴+1裂项的过程如下:
令t⁴+1=0，运用棣莫弗公式(欧拉公式亦可)求得该方程4个复数根为:
t₁=√2/2+√2/2i,t₂=-√2/2+√2/2i
t₃=-√2/2-√2/2i,t₄=√2/2-√2/2i
其中t₁与t₄，t₂与t₃分别互为共轭复数
配成两个一元二次方程得
(t²-√2t+1)(t²+√2t+1)
