【零基础学经济Ep55】查漏补缺——数学基础（十六：同济常微部分）+经济概念日常梳理
继续聊二阶线性非齐次微分方程：常系数线性非齐次微分方程——第二种要掌握的类型。
接着继续“效用论”内容。
part 1 同济《高等数学》常微分方程部分
二阶线性非齐次微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。
将上面非齐次方程中的P（x）和Q（x）换成常数p、q，即得到——
常系数非齐次线性微分方程——形如d^y/dx^2+p dy/dx+q y=f（x）的微分方程。
上一次聊了二阶线性齐次微分方程求通解的方法——
写出微分方程的特征方程；
判断特征方程解的情形；
按照三种情形写下通解，可以直接把通解背下来，也可以从特征方程直接推。
我们学过二阶线性微分方程解的结构的相关定理——
定理三：设y*（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解。
所以，我们只需要解决求得二阶线性非齐次微分方程的一个特解y*的方法即可。
书上列举了两种常见形式，不用积分即可求出——
f（x）=Pm（x）e^（lx）——其中l是常数，Pm（x）是x的一个m次多项式：
Pm（x）=a0x^m+a1x^（m-1）+……+am-1x+am；
f（x）=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]，其中l、w是常数，Pl（x）、Pn（x）分别是x的l次、n次多项式，且有一个可为零。
类型二——
y"+py'+qy=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]——用到了欧拉公式：：e^（ic）=cos c+i sin c——
预备步骤——
e^（ic）=cos c+i sin c，e^（-ic）=cos c-i sin c；
cos c=[e^（ic）+e^（-ic）]/2，sin c=[e^（ic）-e^（-ic）]/2i。
过程——
用欧拉公式替代f（x）中的cos wx和sin wx，e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]=e^（lx）{Pl（x）[e^（iwx）+e^（-iwx）]/2+Pn（x）[e^（iwx）-e^（-iwx）]/2i}=[Pl（x）/2+Pn（x）/2i]e^（lx+iwx）+[Pl（x）/2-Pn（x）/2i]e^（lx-iwx）；
我们令P（x）=Pl（x）/2+Pn（x）/2i，则它的共轭多项式为P'（x）=Pl（x）/2-Pn（x）/2i；
这样就将方程化回了第一种形式，分别求出y"+py'+qy=P（x）e^（lx+iwx），y"+py'+qy=P'（x）e^（lx-iwx）的一个特解y1*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）与y2*=x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）；——m=max{l，n}；
再根据之前学过的“线性微分方程的叠加原理”知原方程具有形如y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）的特解；
y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）=x^ke^（lx）[Qm（x）e^（iwx）+Q'm（x）e^（-iwx）]=x^ke^（lx）[Qm（x）（cos wx+i sin wx）+Q'm（x）（cos wx-i sin wx）]；
因为Qm（x）与Q'm（x）是共轭多项式，所以5中结果括号里两项相加消去虚部，即y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）=x^ke^（lx）[Qm（x）（cos wx+i sin wx）+Q'm（x）（cos wx-i sin wx）]=x^ke^（lx）[Rm'（x）cos wx+Rm"（x） sin wx]。——其中Rm'（x）与Rm"（x） 是m次多项式。
定理四：设二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是两个函数之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）与y*2（x）分别是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）与y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——线性微分方程的叠加原理。
part 2 经济学概念——高鸿业
高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——
第一节引入效用的概念——
效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。
效用的度量——
基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。
序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。
基数效用论——
边际量——一单位的自变量的变化量所引起的因变量的变化。
边际量公式——边际量=因变量的变化量/自变量的变化量
总效用（total utility）——TU——消费者在一定时间内从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和。
边际效用（marginal utility）——MU——消费中在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。
边际效用函数——MU=ΔTU（Q）/ΔQ——TU（Q）为总效用函数——当ΔQ趋向于0时，MU=lim （ΔTU（Q）/ΔQ）=dTU（Q）/dQ。
边际效用递减规律——在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的。
例子：饿的时候吃第一个包子是最爽的，吃得越多，快感的增加程度随之减弱，吃撑了就很不爽了。
以现在的进度，很快就可以衔接平新乔的书了。
