f(f(x))=x^2-x+1的连续函数解

假定定义域为且连续，，先简单讨论一下的性质.

1. .，

2. 在时严格单调递增.若，则，，时，是单射，严格单调，若递减，，，令，则，，矛盾，递增

3. .若，，矛盾，若，，，，矛盾

4. 关于对称.由1，或，若，，则，由介值定理，，，，但这是不成立的，故

5. 时，.若，，矛盾，故，
   

由以上性质，只需讨论在时的取值，将其分为和两部分分别构造

1. .令，，，任取，，构造，令严格递增且满射，令；.显然在上连续，，；，

2. .令(随便取的)，，，任取，，构造，令严格递增且满射，令；.显然在上连续，，；，
   

综上，构造出的函数是上f(f(x))=x^2-x+1的连续函数解，并且对于任意连续函数解，在以上构造中令是在上的限制，构造出的函数就是本身，所以上述构造方法给出了f(f(x))=x^2-x+1所有连续函数解的构造.