阿基米德如何借助杠杆原理求劈锥曲面体的体积

        阿基米德在论证了抛物型截面旋转体和双曲型截面旋转体体积后，这些几何体都是截圆锥体而生成并演变来的。如果用平面截圆柱体又会得到怎样的几何体？它们的体积又如何进行计算？这些截得的几何体是不是也可以通过杠杆原理来推算它们的体积呢？下面我们就先选择其中的一种试着论证一下。我们首先要论证的是最经典的劈锥曲面体，请看图形：

       这里的劈锥曲面体指的是用一个过圆柱体一个底面圆的圆心且与另一个底面相切的平面截圆柱所得的截取部分。它的形状像一个楔子，只不过它有一侧的侧面是圆柱的曲面部分，陕师大版的把它的名称翻译为劈锥曲面体，我们姑且沿用。为了借助杠杆原理来进行体积的论证，我们要么借助它的内接规则几何体的体积，要么借助它的外接规则几何体的体积来论证。这里我们借助它的外接半圆柱体，也即是正好包含这个劈锥曲面体的半圆柱，通过在这两个几何体之间建立比例关系，进而转化为杠杆的平衡关系，再用穷竭法来叠加完成。

        当然，想借助穷竭法论证，必须对立体图形进行切片，在切片之前，还要对立体图形进行平面化处理，唯有如此才能把内部相切的结构线条清晰的展示出来。阿基米德就从纵横两个方向切割立体图形，得到两个关键的截面信息。

        借助这两个截面展开切面论证，先从平行于轴线的平面同时截半圆柱体和劈锥曲面体生成的两个平行四边形截面说起，得到一组比例关系，然后把其中的劈锥曲面体截面及其重心移到直径为杠杆的一端，半圆柱中的截面则放在杠杆的另一端的原位置不变。通过比例论的论证，wo'men 发现二者将保持平衡状态，再变换切面位置，我们可以得到任意位置的两截面之间都存在这种平衡关系，进而可以把它们叠加起来构成各自对应的立体图形，也会在这个杠杆两端保持相同的平衡关系。从而达成命题的证明。还是让我们来看看正文吧！

        翻译正文：