【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第二章代数式

§2-1用字母表示数

【01】在上一章里我们学习了关于有理数的知识。从算术里的数扩大到有理数，这是从算术到代数的一个重大的发展。现在，我们还要学习从算术到代数的另一个重大的发展——用字母表示数。

【02】我们曾经在有理数这一章里学到过加法交换律，就是：在加法里，两个加数的前后位置，可以互相对调，它们的和相等。

【03】但是，这句话写起来比较长，领会起来有时也不太容易，可不可以用比较简单明确的方法来叙述呢？

【04】如果我们用两个字母 a 和 b 来表示这两个加数，那末，加法交换律就可以用 a＋b＝b＋a 来表示，它就很简单，而且很明确。

【05】在算术里，我们知道做两个真分数或假分数的乘法只要把分子分母分别相乘，如果我们用字母 a 和 b 分别表示一个分数的分子和分母，字母 c 和 d 分别表示另一个分数的分子和分母，这个运算法则就可以简单明确地表示成   。

【06】用同样的方法，我们可以把分数的除法法则表示成   。

【07】在生产、学习、生活和科学研究上，我们会碰到许多计算的公式，用字母来表示有关的数，就可以使这些公式大大简化。例如，在算术里，我们学过矩形（长方形）的面积计算公式是：面积＝长×宽；正方形的面积计算公式是：面积＝边长×边长等。如果我们用字母 S 表示矩形或正方形的面积，字母 b 和 h 表示矩形的长和宽，a 表示正方形的边长，那末这两个公式就可以写成——矩形的面积公式：S＝b × h，正方形的面积公式：S＝a × a＝a²  。这样就很简单明确。

例用 a,b,c 等表示任意有理数，把第一章里面学到过的一些运算性质表示出来。

【解】

        加法交换律：a＋b＝b＋a；

        加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

        乘法交换律：a×b＝b×a；

        乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；

        乘法对于加法的分配律：a×(b＋c＋d)＝a×b＋a×c＋a×d；

        减法的运算性质：a－(b＋c＋d)＝a－b－c－d  。

        除法的运算性质：(1) a÷(b×c×d)＝a÷b÷c÷d；(2) (a＋b＋c）÷d＝a÷d＋b÷d＋c÷d  。

习题2-1

1、用字母来表示有理数的减法法则：从一个数减去另一个数，等于这个数加上另一个数的相反的数。[提示：以字母 a 表示一个数，用字母 b 表示另一个数，那未另一个数的相反的数就可以用－b来表示]

2、用字母来表示分数的基本性质：一个分数的分子分母同乘以一个不是零的数，分数的值不变。[提示：把分数的分子分母分别用字母 a 和 b 来表示，一个不是零的数用 m 来表示]

3、一个三角形的面积等于它的底边与高的乘积的二分之一，即三角形的面积＝×底边×高。如果用字母 S 表示三角形的面积，b 表示它的底边，h 表示它的高，试用 S，b，h 写出三角形的面积公式。

4、一个平行四边形的面积等于它的底边与高的乘积。用字母 S 表示面积，b 表示底边，h 表示高，试用 S，b，h 写出平行四边形的面积公式。

5、一个圆的周长等于它的半径乘以圆周率的 2 倍。如果用字母 C 表示圆的周长，r 表示半径，用希腊字母 π 表示圆周率，写出圆的周长的公式。

6、一个圆的面积等于它的半径的平方乘以圆周率。如果用字母 S 表示圆的面积，r 表示它的半径，用希腊字母 π 表示圆周率，写出圆的面积公式。

7、一列火车行驶的距离等于它的平均速度乘上行驶的时间。如果用字母 s 表示它行驶的距离，v 表示它的平均速度，t 表示它的行驶的时间，写出火车行驶距离的公式。