系统响应，卷积积分，冲激函数，高阶线性微分方程求解

网易慕课东南大学信号与系统非常优秀，看了两章，做点笔记在这里

如果我们知道系统响应的高阶线性微分方程。我们如何求解这个响应呢？根据以前学过的高等数学，我们知道一阶的线性微分方程是很好解的，套上公式即可。二阶线性微分方程在标星号的一节里也给了通解，但是感觉就十分复杂。更高阶的就无法想象了。

在信号与系统这门课中，讲了一种十分巧妙的方法来求高阶的线性微分方程。

首先，可以用特征根法得到这个方程对应的齐次方程的解，这没啥好说的。接下来就是讨论的重点了，如何求特解呢？

因为这个方程是线性的，有叠加性等等性质。我们可以把右端的函数分解成很多个子函数，然后分别把这些子函数的微分方程求解出来，然后加到一起就可以得到整个函数的线性微分方程的解了。

那么，我们就该思考这样几个问题：

• 如何分解成子函数

• 如何求解子函数

• 如何把子函数加到一起

如何分解涉及到冲击函数这个神奇的函数。如何叠加会讲到卷积积分。至于如何求解子函数我还不知道。。。。据说学了后面就有很棒的方法可以算了

分解成子函数。。。子函数应该选什么呢？很直接的，我们可以想到，用像这样函数

然后，把e(x)这样分成一个个的小矩形。

我们只需要把u(t)左右平移到需要的位置。再乘以一个正确的高度，就能得到一个我们需要的矩形了。

这样，每一个子函数就都等于u(t)和一个常数的乘积了（对于每个子函数f(t)，k、△t、f(k△t)这几个量当然都是常数）

之后要做的自然是加起来，令△t趋近于0取极限啦

本来，u(t)是一个宽度为△t，高度为1的矩形。△t趋近于0之后，就变成了一个宽度为dt，高度为1的矩形。再除以dt，就变成了高度为1/dt，宽度为dt的矩形了，这个函数我们把它定义为δ

这个函数是个偶函数，高度无限高，宽度无限窄，面积等于1。

∫f(ζ)δ(t-ζ)dζ=f(t) 是δ数学上的定义，这个函数δ被称为冲击函数。我们也把这个叫做δ的取样特性，但是事实上，这是δ的定义而非特性。

然后，我们如果能求出δ对应的微分方程的解h，那么，我们就可以知道f(ζ)δ(t-ζ)对应的解就是f(ζ)h(t-ζ)。因为方程是线性的，线性函数自变量扩大常数倍，因变量也会扩大常数倍。

还是因为它是线性的，我们知道线性函数有这样的性质：如果f(an)=bn，那么就有f(a1+a2+a3....)=b1+b2+b3.....既然能加，自然也能加起来取极限，也就是积分了。所以f(t)=∫f(ζ)δ(t-ζ)dζ 对应的微分方程的解就是 ∫f(ζ)h(t-ζ)dζ 。这就是我们要的了

到此，我们就把方程的特解求出来了

之后只需要把齐次方程的解加上去，就得到通解了。。讲道理就是这样

像这种积分

我们叫它做卷积积分。这个式子的意义是不断移动函数g(x)，每次移动了再与f(x)乘起来。再把得到的结果累积起来。

卷积积分怎么算呢，不难想到，只要将x当作常数把ζ积分就可以了，就和我们平时做重积分是一个道理。这个卷积积分可以记为f*g。这样记不光是因为方便，也因为这种运算有类似于乘法的性质：交换律，结合律，与分配律都是适用的，既 f*g=g*f; f*g*h=f*(g*h); (f+g)*h=f*h+g*h这些定律据说用定义都可以证明出来（我毫不犹豫的信了，并没有试着证一证）。

卷积运算还有一些特殊的运算定律 

• (f*g)'=f'*g=g'*f   是的只用其中一个取导就可以了

•   ∫(g*f)=g*∫f=f*∫g

• g的n阶导*f的n阶导=(f*g)的n阶导

• u(t-t1)*v(t-t2)=f(t-t1-t2)

讲完了。

看完的举个手。。。看到这里的是跟自己有仇吗。是漫画不好看还是薯条不好吃呀