【银蛇出品】数学漫谈10——教你证明“圆周率”π=4
前置知识：高等数学(极限、定积分)
一直以来有一张图流传于网络中：
嗯，就是这个很雷人的圆周率π=4的“证明”。显然图中圆周率π采用的是比较朴素的定义，即给定圆的周长与直径之比。不过，这种定义存在一些瑕疵，何谓“圆的周长”，或者说，如何严格地表示圆的周长？事实上，初等数学对此问题是无能为力的，在初等数学的范畴内所做的最多只能是循环论证。如果能说清楚这个定义，就能容易地指出图中的错误了。
严格的定义方式应该是利用曲线积分来表示。设给定圆的方程为x²+y²=1，我们考察其在第一象限内的弧l的长s，然后只需要对结果乘以2即可。
这样，圆周率π就定义为方程sin(x)=1最小正根的二倍，而三角函数的定义可以脱离几何直观，从极限和级数的角度出发。这就是圆周率π的严格定义，至于其数值大小可以利用数值方法进行近似计算。
回过头来说说，一开始那个雷人的证明错在哪了呢？实际上，这里面对距离的定义是与我们一般习惯的认知不同的。这里面的弧微分变成了
而定积分的定义依赖于极限，这样就存在了一个问题，ds'与ds是否存在高阶无穷小的误差呢？一旦存在，无穷多个无穷小的结果就未必是无穷小，这两种算法的误差就体现出来了。实际上结果也告诉我们了，这个高阶无穷小的误差的确是存在的。
那是不是说π=4就完全不对呢？也不见得。想一想，我们定义的Euclidean空间究竟是什么呢？首先Euclidean空间是一个n维线性空间，然后在它上面定义了一种距离(2-范数)的概念。我们从生活经验出发，将平面上的距离默认地定义成
而实际上，距离可以有其他的定义方式。而在其中的某些定义方式下，就可能计算出π=4这样的结果。
向量的范数是一种对应法则，它将n维向量x=(x1,x2,…,xn)映射成一个实数。它满足三条性质：
一种范数定义为
称之为p-范数，这时，三角不等式成为著名的Minkowski不等式。当p取一些特殊值时就有
显然，2-范数(也叫Euclidean范数)就是我们熟悉的对距离的定义。另外
其中m是向量x中非零元素的个数。0-范数的性质不够好，一般不用它来定义距离。
如果某个线性空间中定义了一种范数，就称之为赋范线性空间或距离空间。用2-范数定义的距离称为Euclidean距离，定义了2-范数的线性空间就是Euclidean空间。用1-范数定义的距离称为Manhattan距离，平面上表示为
这时，最前面的那张图的近似方法就是完全正确的了。可以验证
这就是说，在定义了1-范数的距离空间中，“圆周率”π1=4。
当然了，在定义了1-范数的距离空间中，“圆”的定义(从到给定点距离相等的点集这个角度出发)可能需要发生变化，改为
这是合理的。不过仍然容易验证“圆周率”π1=4。(留给观众同学自行验证)
多说一点关于Manhattan距离的性质和应用。相比于Euclidean距离，Manhattan距离的性质不够好。Manhattan距离的几何直观含义是以两点连线为斜边的直角三角形两直角边之和。但显然这个直角三角形的构造不是唯一的。于是，Manhattan距离的大小与坐标轴的选取密切相关。Manhattan距离被应用于计算机图形学中，因为对于由一个个方格组成的像素点阵来说，采用Manhattan距离描述距离这一概念比采用Euclidean距离更具有优越性。
另外，你完全可以不认可这个证明，因为上述所有的讨论其实都是在距离的定义上动的手脚。毕竟，我们生活在一个Euclidean空间中，最自然的定义圆周率的方法一定是建立在对Euclidean空间的认识之上的。
