PM-1-7
这周的题有点多，就不唠嗑了，直接开始。
第一题又双叒叕的是上交第一热爱的举例子，积累就行，不过多赘述了。
第二题有意思的点在于在定积分里面考察了有限覆盖这种实数系的定理，需要转一个弯，当然这个题的命题也可以直接作用于证明黎曼函数可积。
第三题又涉及到了多项式函数，不得不说多项式函数确实有很多好的性质可以信手捏来的使用。而这里的证明方法还用到的针对非负函数可积上的一个性质，即若一个非负函数在闭区间上的黎曼积分大于零，则存在一个小区间与一个正数，使得函数f在小区间上恒大于这个正数，当然这个定理考试中使用可能需要先证明，证明的方法也不难，简单反正即可。
第四题当然可以反证，然后构造一个比较诡异的g来满足条件即可（一般构造为一个梯形函数即可），这里给出了更为巧妙的一个证明方法，即用到了一个函数本身可以拆分为一个奇函数和一个偶函数的和，然后从正面解决了问题，不过说到这我就插一嘴别的，就是如果把函数空间看做是数域R上的线性空间的话，那么奇函数和偶函数分别构成了两个子空间，并且这两个子空间的直和就是整个空间，也就是这里拆分的底层逻辑。
第五题的收录主要在于两个点，一在于这个引理，事实上这个引理的离散版本在数列的部分应该已经复习过，这里这是拓展到了积分版本，需要熟悉。第二个就是针对这种走来一头雾水的题目，需要先动手尝试，然后看和自己熟悉的什么结论比较靠近，在拓展拓展思路。
第六题主要是先展示一个逆天的错误做法，错误之处在于用第一积分中值定理的时候取的这个 是和h相关的，因此在取极限时
并不是收敛到0的。而在正确的证明过程中这个关键的根号h也是通过后续证明的需要来反向推导的。即我们需要使拆开的第一项的积分上限可以收敛到0，同时又能够使第一项的积分为pi/2。
第七题主要要意识到这里其实是个数列的极限题目，因此才进一步的想到stolz公式的使用。后续则反而是积分的正常步骤。
第八题当然可以反证，这里只是展示一种更为天马行空的做法。
第九题的突破口在于g本身的形式，可以看做是一个函数与本身导数的乘积，因此才会联想到F的构造方式。
第十题是一个非常经典的计算题，走来的换元同时兼顾了多个形式的对称性，可以说是少有的非常优美的计算。
十一题依旧是一个计算题，主要是提一嘴这种对变限积分函数的积分的计算，这个时候直接把里面的变限积分函数看做一个f然后在作变换即可，就没有了形式上对直觉的干扰。
