对称与群

高中学数学竞赛的时候初次接触了群论，当时是在组合计数里看到的，其实主要是讲的波利亚计数定理，虽然直到目前我 也还没看懂这个定理，不过早晚要看。群论是抽象代数的一支，当时看的我云里雾里的，不过接触的次数多了之后逐渐就明白了，它定义的内容是一种有运算的集合，抽象代数就是研究带有一些特殊运算的集合的结构。不同于平常我们所了解的运算，数的加减乘除等只是关于数集的运算，如果把加减乘除换成其他运算，数集换成其他集合，它也构成一种代数，抽象代数就来研究这些代数的共性等等。不过我还没看多少，很想知道的是怎样用它来解释为什么尺规作图不能三等分角，为什么五次以上的多项式方程没有求根公式。其实不只有群，还有环、域、模，环的一个例子是整数，里面的理论和数论里涉及到的很接近，估计可以说整数环是一个很典型的例子吧，还有多项式环类似。域的话全体实数、全体复数都是域，模我还不清楚是什么。书上有一句话说，对称即群，并举了两个例子，一个是平面图形的对称，另一个是对称多项式。这两个例子在高中数学竞赛中就有所接触了，波利亚计数定理似乎就是解决具有一定对称性的图形的计数问题，化学的分子结构啥的似乎经常要利用这个定理。对称多项式是在以前的代数书里看到的，讲到了一些特殊的多项式，具有特殊的运算性质。到了大学学了高等代数，关于多项式的部分有提到对称多项式，以及一些神奇的性质。首先，平面图形的对称的定义还是比较简单的，严谨地话要用一些代数技巧，所以只简单地说，平面的图形通过两种方式运动后和自身重叠，就说这种运动是一个对称，这两种运动一种是绕某一点旋转一定角度，另一种是以平面内一条直线为轴翻转180度，这两种运动都是等距变换，也就是保持形状不变。以正三角形为例，它有三条对称轴，所以有三种翻转对称，旋转可以是0度、120度、240度，所以一共它有六种对称。我们把这六种对称看成一个集合，并施加一种复合运算，比如先旋转120度再沿一条对称轴翻转，这样得到的结果是沿另一条对称轴翻转，大家算一算就可以知道，这六种操作任意两种的复合都是这六种之一，这样我们就定义了这个集合里的一种运算。同时这种运算还满足一些性质，比如结合律、交换律、单位元、逆变换，群就是运算满足一些特殊性质的集合和运算的统一体，它的定义可以在网上搜一下，因为这里不方便打符号，简单的说就是满足结合律、单位元、逆元三个条件。如果初次接触，而且也没学过线性代数等高等数学的内容，可能不太理解为什么没有交换律，交换律其实不一定需要成立的，这样群就涵盖了更多的代数结构，矩阵就是一个很好的例子，虽说矩阵在数乘和乘法加法的运算下不仅仅是一个群，但是单就乘法来说它就不满足交换律。满足交换律的群又叫做Abel群或交换群。像上面的平面图形的对称群就可以说是Abel群，但是多项式的对称就不是了。关于对称与群的关系，应该可以说是，以对称做为运算的集合的代数结构是群，任何群都可以找到一种以对称作为运算的同构的群。这里说到的同构就是指两个群里不仅元素可以做一一对应，同时也满足了他们的运算也与元素协同着一一对应。这些内容的证明还需要更深入地探索，我也还不了解太多，继续看书去了。